К разделу
Главная страница раздела 1
Главная страница раздела 2
Предметный указатель
Вверх
Ответы

§ 7. Ряд Фурье. Интеграл Фурье

1°. О п р е д е л е н и е. Функция f (x)  называется удовлетворяющей условиям Дирихле на отрезке [a, b], если она на этом отрезке:
1) имеет конечное число разрывов, причем все они первого порядка;
2) имеет конечное число экстремумов;
3)  во всех точках (a, b).
2° Функция f (x), удовлетворяет условиям Дирихле на отрезке [- l, l], может быть определена во всех точках этого отрезка рядом Фурье:
(1)
где
;;(2)
Если f (x) = f (- x), т.е. f (x) функция четная, то b n = 0 и
. (3)
Если f (x) = - f (- x), т.е. f (x) функция нечетная, то а n = 0 и
. (4)
Если функцию f (x), определенную рядом (1) на отрезке [- l, l], продолжить по периодическому закону с периодом 2l, потребовав, чтобы , то она будет определяться рядом (1) и на всем своем продолжении.
3°. Если функция f (x) абсолютно интегрируема в промежутке (- ∞; ∞) ( т. е.  и удовлетворяет условиям Дирихле на всяком конечном отрезке, то она может быть представлена интегралом Фурье:
,(5)
где
 и, (6)
Разложить в ряды Фурье следующие периодические функции с периодом 2·π
2549. f (x) = 1 при 0 < х < π и f ( - x) = - f (x). С помощью полученного ряда показать, что
.

2550. f(x) = x при 0 ≤ х ≤ π и f ( - x) = f (x). С помощью полученного ряда показать, что

.

2551. f (x) = x2 при - π ≤ x ≤ π. С помощью полученного ряда показать, что
1) ;
2) .
2552. .
Разложить в ряд Фурье периодические функции с периодом 2l:

2553. f (x) = 1 при 0 < х < l и f (- x) = - f (x).

2554. f (x) = 1 – x при 0 ≤ x ≤ 1, f (- x) = f (x), 1 = 1.

2555.

2556. f (х) в области (0,2] задана графиком (рис. 35) и продолжена: 1) по четному; 2) по нечетному периодическому закону с периодом 2l = 4. Разложить каждую из этих функций в ряд Фурье.
2557. Распространение тепла в стержне длиной l определяется уравнением , где u (x, t) температура, и условиями
1) граничными: u = 0 при х = 0 и при х = l;
2) начальными:
Определить методом Фурье функцию u(x, t).

2558. Продольные колебания стержня длиной l, у которого один конец (при х=0) заделан, а другой (при х = l) свободен, определяются уравнением , где u(x, t) – продольное смещение, и условиями:

1) граничными: u = 0 при x = 0; при х = l;
 2)  начальными: u = f (x), при t = 0.
Определить методом Фурье функцию u (х, t).

2559 . Поперечные колебания стержня длиною l, опертого в обоих концах, определяются уравнением

и условиями
1)  граничными: u = 0 и при x = 0 и x = l;
2)  начальными: u = f (х) и при t = 0.

Определить методом Фурье функцию u(x, t).
В задачах 2560—2562 написать интеграл Фурье для функции:

2560.  

2561. f (x) = e-βx при x ≥ 0 и f (- х) = f (x).

2562. f (x), заданной на отрезке [—2; 2] графиком на рис. 36 и равной нулю вне этого отрезка.

Разложить в ряды Фурье функции:

2563. при 0 < x ≤ π, f(- x) = f(x), f(x + 2·π) = f(x).

2564. f (x) = | sin x |; с помощью полученного ряда показать, что . (видео)

2565.

2566. f(x) = x при 0 ≤ x ≤ l, f(- x) = f(x), f(x + 2·l) = f(x).

2567.

2568. f(x) = ex при l < x < l и f(x +2 ·l) = f(x).

2569. Методом Фурье решить уравнение при условиях:
1) u = 0 при x = 0,
2) u = f(x) и при t = 0.
2570. Написать интеграл Фурье для функции