К разделу
Главная страница раздела 1
Главная страница раздела 2
Предметный указатель
Ответы

§ 13. Преобразование декартовых координат.
Параболы y = a x2 + b x + c и x = a y2 + b y + c. Гипербола x·y = k

1°. Координаты (x; y) в данной системе преобразуются к координатам (X; Y) в новой системе по формулам:
  1. при параллельном сдвиге осей и перенесении начала координат в точку O1(α; β)
    x =X + α,  y =Y + β  (1)
  2. при повороте осей на угол φ
    х = Х·cos φ – У·sin φ, у = Х·sin φ + Y·cos φ. (2)
2°. Уравнение y = a·(x - α) ² + β
переносом начала координат в точку O1(α, β) приводит к виду Y = a·X ² и, следовательно, определяет параболу с вершиной O 1(α, β) и осью симметрии, параллельной Oy (рис.1) . Уравнение a·x ² + b·x + c выделением в правой части полного квадрата приводится к предыдущему и поэтому тоже определяет параболу. При a > 0 парабола от вершины направлена «вверх», при a < 0 – «вниз».
3°. Уравнение x·y = k при повороте осей координат на угол φ = 45° приводится к виду X ² - Y ² = 2k и, следовательно, определяет равностороннюю гиперболу, асимптотами которой служат оси координат (рис.2). Уравнение (x - α)·(y - β) = k переносом начала координат в точку O1(α, β) приводится к виду X·Y = k и поэтому тоже определяет равностороннюю гиперболу.
260. 1) Точка A (3; 1) при параллельном сдвиге осей координат получила новые координаты (2; - 1). Построить данные и смещённые оси координат и точку А.
2) Найти острый угол поворота осей координат, при котором точка A(2; 4) получит новую абсциссу 4. Построить обе системы координат и точку A.

261. Перенесением начала координат упростить уравнения:

1) 2)
3) (y + 2) ² = 4·(x - 3) 4) 2y = - (x + 2) ²
5) x ² + 4·y ² - 6·x + 8·y = 3 6) y ² - 8·y = 4·x
7) x ² - 4·y ² +8·x - 24·y = 24 8) x ² + 6·x + 5 = 2·y
Построить старые и новые оси координат и кривые.

269. Поворотом осей координат на 45° упростить уравнения: 1) 5·x ² - 6·x·y + 5·y ² = 32;  2) 3·x ² - 10·x·y + 3·y ² + 32 = 0. Построить старые и новые оси координат и кривые.

263. Построить по точкам кривую x·y = - 4 и поворотом осей на угол φ = - 45° преобразовать уравнение.

264. Переносом начала координат привести к виду x·y = k уравнения кривых: 1) x·y - 2·x = 6;   2) х·y - 2·x - y +8 = 0; 3) x·y – x +2·y = 6; 4) x·y + 2·x = 3·y.
Указание. Уравнение x·y + A·x + B·y + C = 0 можно написать в виде (x + B)·(y + A) = AB - C.

265. Построить параболы: 1) y = (x - 2) ²; 2) y = (x - 2) ² + 3; 3) y = ( x + 2) ²; 4) y = (x + 2) ² - 3.

266. Построить параболы: 1) y = x ² - 4·x + 5; 2) y = x ² + 2·x + 3; 3) y = - x ² + 2·x - 2, выделив в правых частях уравнений полные квадраты.

267. Построить параболы: y = 4·x - x ² и 2) 2·y = 3 + 2·x - х ², найдя их точки пересечения с осью Ox.

268. Струя воды фонтана достигает наибольшей высоты 4м на расстоянии 0,5м от вертикали, проходящей через точку O выхода струи. Найти высоту струи над горизонталью Ox на расстоянии 0,75 м от точки O.

269. Составить уравнение параболы, симметричной относительно оси Оу и отсекающей на ней отрезок b, а на оси Ох – отрезки а и – а.
Указание. В уравнении параболы вида у = А·х ² + В·х + С. Подставить координаты данных на параболе точек (- а ; 0), (а; 0) и (0; b) и затем найти А, В и С.

270. Парабола у = а·х ² + b·х + с проходит через точки О (0; 0), А (- 1; - 3) и В(- 2; - 4). Написать уравнение окружности, диаметром которой служит отрезок оси Ох, отсеченный параболой.

271. На какой угол нужно повернуть оси координат, чтобы исчез член, содержащий ху в уравнениях: 1) х ² – х·у + у ² – 3 = 0, 2) 5·х ² – 4·х·у + 2·у ² – 24 = 0? Построить старые и новые оси координат и кривые.

272. Определить траекторию движения пули, брошенной под углом φ к горизонту с начальной скоростью v0. Определить также дальность полета пули и наивысшую точку траектории (сопротивлением воздуха пренебречь).

273. Написать уравнение геометрического места точек М(х; у), отношение расстояний от которых до точки F (4; 0) к расстояниям до прямой Х = - 2 равно 2.

274. Показать, что переносом начала координат в левую вершину эллипса или в правую вершину гиперболы оба уравнения приводятся к одинаковому виду: у ² = 2·р·х + q·х ², где , а q = ε² - 1.

275. По результатам задачи 274 определить эксцентриситет и тип кривой: .
Построить кривые, найдя для первых двух точки пересечения их с осью Ох и параметры а и b .

276. Выделением полных квадратов и переносом начала координат упростить уравнения линий: 1) 2·х ² + 5·у ² – 12·х + 10·у + 13 = 0; 2) х ² – у ² + 6·х + 4·у –4 = 0; 3) у ² + 4·у = 2·х; 4) х ² – 10·х = 4·у – 13. Построить старые и новые оси и кривые.

277. Поворотом осей координат на 45° упростить уравнение 3·х ² – 2·х·у + 3·у ² – 8 = 0. Определить координаты фокусов в старой системе координат.

278. Написать уравнение окружности, диаметром которой служит отрезок , отсекаемый на оси Ох параболой у = 3 – 2·х – х ². Построить обе кривые.

279. Написать уравнение окружности, диаметром которой служит отрезок прямой х + у = 6, отсеченный гиперболой х·у = 8. Построить все три линии.

280. Точка А – вершина параболы у = х ² + 6·х + 5, В – точка пересечения параболы с осью Оу. Написать уравнение перпендикуляра, восстановленного из середины отрезка АВ.

281. Составить уравнение параболы, симметричной относительно оси Ох и отсекающей на ней отрезок – 4, а на оси Оу – отрезки 4 и – 4.
Указание. Уравнение параболы должно иметь вид х = а·у ² + с (почему?).

282. Построить по точкам пересечения с осями координат параболы: 1) 3·у = 9 – х ²; 2) у ² = 9 – 3·х; 3) у ² = 4 + х; 4) х² = 4 + 2·у.

283. Написать уравнение геометрического места точек М(х; у), отношение расстояний от которых до точки F(4; 0) к расстояниям до прямой х = 10 равно ½.