§ 14. Смешанные задачи на кривые второго порядка
, отсеченный осями координат.
285. Найти расстояние от центра окружности х ² + у ² + ау = 0 до прямой у = 2(а – х).
286. Через центр окружности х ² + у²= 2ах проведена прямая, параллельная прямой х + 2у = 0 и пересекающая окружность в точках А и В. Найти площадь ∆ АОВ.287. Показать, что геометрическое место точек М, которые удалены в m раз дальше от данной точки А чем от другой данной точки В, есть прямая при m = 1 и окружность при m ≠ 1.
288. Отрезок АВ разделен на части АО = а и ОВ = b. Показать, что геометрическое место точек, из которых отрезки АО и ОВ видны под равными углами, есть прямая при а = b и окружность при а ≠ b (аполлониева окружность).289. Определить траекторию точки М( х; у), движущейся так, что сумма квадратов расстояний от нее до прямых у = kх и у = - kх остается постоянной и равной а ².
290. Эллипс, симметричный относительно оси Ох и прямой х = - 5, проходит через точки (-1; 1,8) и (-5; 3). Написать уравнение эллипса и построить его.291. Найти площадь равностороннего треугольника, вписанного в гиперболу х ² – у ² = а ².
292. Найти угол между диагоналями прямоугольника, вершины которого находятся в точках пересечения эллипса х ² + 3у ² = 12 l ² и гиперболы х ² – 3у ²= 6 l ²293. Окружность с центром в начале координат проходит через фокусы гиперболы х ² – у ² = а ². Найти точки пересечения окружности с асимптотами гиперболы.
294. Построить гиперболы ху = - 4 и х ² – у ² = 6 и найти площадь ∆АВС, где А и В – вершины двух пересекающихся ветвей гипербол, а С – точка пересечения двух других ветвей гипербол.295. Доказать, что произведение расстояний любой точки гиперболы от ее асимптот есть величина постоянная, равная а ²· b²/ с².
296. Найти длину и уравнение перпендикуляра, опущенного из фокуса параболы у = - х ²/8 на прямую, отсекающую на осях координат отрезки а = b = 2.297. Построить эллипс х ² + 4у ² = 4 и параболу х ² = 6у и найти площадь трапеции, основаниями которой служат большая ось эллипса и общая хорда эллипса и параболы.
298. Из фокуса параболы у ² = 2рх, как из центра, описана окружность так, что общая хорда кривых одинаково удалена от вершины и от фокуса параболы. Написать уравнение окружности.
299. Найти длину и уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины параболы bу = х ² + 2ах + а ² + b ² на прямую, отсекающую на осях координат отрезки а и b.300. Построить по точкам пересечения с осями координат параболы 4у = 12 – х ² и 4х = 12 – у ² и найти длину их общей хорды.
301. Найти площадь четырехугольника с вершинами в точках пересечения параболы у = 4 – х ² с осью Ох и с прямой у = 3х.302. Написать уравнение окружности, проходящей через начало координат и через точки пересечения параболы х ²⁄а – 2х + а с осями координат.
303. Дан эллипс х ² + 4у ² = 16. Из его вершины А(4; 0) проведены всевозможные хорды. Определить геометрическое место середин этих хорд и построить кривые.304. Определить траекторию точки М(х; у),движущейся так, что разность квадратов расстояний от нее до биссектрис координатных углов остается равной 8.
305. Составить уравнение геометрического места центров окружностей, проходящих через точку А(3; 4) и касающихся оси Ох.306. Выделением полных квадратов и переносом начала упростить уравнение линии х ² – у ² – 4х – 6у – 9 =0. Построить старые и новые оси координат и кривую.
307. Найти геометрическое место середин фокальных радиус- векторов, проведенных из правого фокуса ко всем точкам гиперболы х ²⁄9 – у ²⁄16 = 1.308. Написать уравнение эллипса, проходящего через точку А(а; - а ), если фокусы его находятся в точках F(а; а) и F1(- а; - а ). Упростить уравнение поворотом осей координат на 45°.
309. Поворотом осей координат на угол φ = аrctg ½ упростить уравнение линии 3х ² + 8 ху – 3у ² = 20. Построить старые и новые оси координат и кривую.310. Написать уравнение геометрического места точек, разность квадратов расстояний от которых до прямой 3х + 4у = 0 и до оси Ох остается постоянной и равной 2,4.
311. Написать уравнение геометрического места точек М(х; у), отношение расстояний от которых до точки
к расстояниям до прямой 
равно ε.
312. Построить области, координаты точек которых удовлетворяют неравенствам:
| 1 |
 |
2 |
 |
| 3 |
 |
4 |
 |