К разделу
Главная страница раздела 1
Главная страница раздела 2
Предметный указатель
Ответы

Общее уравнение линии второго порядка

1°. Линией второго порядка называется линия, определяемая уравнением 2-й степени, которое в общем виде можно написать так:
Ах ² + 2Вху + Су ² + 2 Dх+ 2Еу+ F= 0 (1)
Составим из коэффициентов уравнения (1) два определителя:
Определитель Δ называется дискриминантом уравнения (1), а δ - дискриминантом старших его членов. В зависимости от значений Δ и δ уравнение (1) определяет следующий геометрический образ

  Δ ≠ 0 Δ = 0
δ > 0 Эллипс (действительный или мнимый) Точка
δ < 0 гипербола Пара пересекающихся прямых
δ = 0 парабола Пара параллельных прямых (действительных или мнимых)
2°.Преобразование уравнения (1) к центру. Если , то линия имеет центр, координаты которого находятся из уравнений:
(2)
где Φ (x, y) – левая часть уравнения (1). Перенеся начало в центр О1 (х0; у0) (рис. 10), приведём уравнение (1) к виду
(3)
где
(4)
3°. Преобразование уравнения (3) к осям симметрии. Поворотом осей О1х1 и О1у1 на некоторый угол φ (рис.10) уравнение (3) приводится к каноническому виду:
(5)
Коэффициенты А1 и С1 являются корнями уравнения
λ ² - (A + C)·λ + δ = 0 (6)
Угол поворота φ находится по формуле
(7)
4°. Преобразование уравнения линии второго порядка, не имеющей центра. Если δ = 0, то линия не имеет центра или не имеет определённого центра. Её уравнение можно тогда записать в виде
(α·x + β·y) ² + 2·D·x + 2·E·y + F = 0. (8)
Случай 1. D и E пропорциональны α и β: D = m·α, E = m·β.Уравнение (2) примет вид (α·x + β·y) ² + 2·m·(α·x + β·y) + F = 0, откуда
– пара прямых.
Случай 2. D и E не пропорциональны α и β. Уравнение (8) можно переписать в виде
(9)
   Параметры m, n, и q найдутся сравнением коэффициентов в уравнениях (8) и (9). Далее, приняв за ось О1Х прямую α·x + β·y + n = 0, за ось О1Y прямую β·x - α·y + q = 0 (рис. 11), найдем
.
После этого уравнение (9) примет вид Y ² = 2pX, где
.
Ось О1Х направляется в ту полуплоскость, в которой β·x - α·y + q имеет знак, противоположный знаку m, как это следует из уравнения (9).

313. Выяснить геометрический смысл уравнений:

1) 4x ² - y ² = 0; 2) 4x ² + y ² = 0; 3) x ² + y ² +2x + 2 = 0
4) x ² + y ² - 6x - 8y + 25 = 0 5) x ² + xy = 0 6) y ² - 16 = 0;
7) x ² - 3xy + 2y ² = 0.

314. Найти центры и преобразовать к центру уравнения линии:
1) 2x ² + 3y ² - 4x + 6y - 7 = 0; 2) x ² - y ² - 4x + 2y - 4 = 0; 3) x ² + 5xy + 2y ² - 6x - 3y - 8 = 0.
315. Поворотом осей координат преобразовать уравнения к каноническому виду и построить кривые:
1) 5x ² - 4xy + 2y ² = 24; (видео) 2) 2x ² + 4xy - y ² = 12.
316. Преобразовать к кононическому виду уравнения и построить кривые:
1) 3x ² - 2xy + 3y ² - 4x - 4y - 12 = 0; (видео) 2) x ² - 6xy + y ² - 4x - 4y + 12 = 0.
317. Преобразовать к кононическому виду уравнения линий и построить их:
1) x ² + 4xy + 4y ² - 20x + 10y - 50 = 0; 2) x ² - 4xy + 4y ² - 6x + 12y + 8 = 0.
318. По дискриминантам δ и Δ определить геометрический смысл уравнений:
1) x ² - 4xy + 3y ² - 8x + 14y + 15 = 0; (видео)
2) x ² + 2xy + 4y ² - 2x + 4y + 4 = 0;
3) x ² + 4xy + 4y ² + 3x + 6y + 2 = 0.
Решив первое и третье уравнения относительно у, построить линии, определяемые этими уравнениями.
319. Привести к каноническому виду уравнение кривой и построить её.

320. Написать уравнение кривой второго порядка, имеющей центром точку О1 (1; 2) и проходящей через начало координат и через точки (0; 4) и (1; - 1).

321. Показать, что уравнение определяет дугу параболы и найти её вершину.
Указание. Повернуть оси координат на угол φ = - 45°.

322. Написать уравнение геометрического места точек М (х; у), отношение расстояния от каждой из которых до точки F (m; n) к расстоянию от неё до прямой x·cos α + y·sin α - q = 0 равно ε. Обозначив коэффициенты полученного уравнения через А, В, С, … , определить инварианты А + С и .

323. Выяснить геометрический смысл уравнений:
1) x ² - 4y ² = 0; 2) x ² + 2y ² + 4x - 8y + 12 = 0;= 0; 3) x ² + 5xy - 6y ² = 0.
324. Преобразовать к кононическому виду уравнения и построить кривые:
1) x ² - xy + y ² - 2x - 2y - 2 = 0; 2) 3x ² + 10xy + 3y ² - 12x - 12y + 4 = 0.
325. Преобразовать к кононическому виду уравнения и построить кривые:
1) x ² - 2xy + y ² - 10x - 6y + 25 = 0; 2) x ² + 2xy + y ² - 4x - 4y + 3 = 0.
326. Под дискриминантам и определить геометрический смысл уравнений:
1) x ² - 2xy + y ² - 4x - 4y + 3 = 0; 2) x ² - 2xy -3y ² + 6x + 10y - 7 = 0.
Решив каждое уравнение относительно y, построить линию, определенную им.
327. Написать уравнение геометрического места точек М(х; y), отношение расстояния от которых до точки F(3; 3), к расстояниям до прямой x + y = 0 равно: 1) ε = ½ ; 2) ε = 2.

328. Написать уравнение геометрического места точек М(х; y); одинаково удаленных от точки F(a/2) и от прямой
x + y = 0, и привести его к каноническому виду.

329. Написать уравнение геометрического места точек, разность квадратов расстояний от которых до прямой
x - 2y = 2 и до оси Ох остаются постоянной и равной 3,2. Преобразовать его к каноническому виду и построить кривую.