К разделу
Главная страница раздела 1
Главная страница раздела 2
Предметный указатель
Ответы

§16. Полярные координаты

Пусть на плоскости дана точка О – полюс и луч ОР – полярная ось (рис.16.1). Тогда положение точки М на плоскости определиться:
1) полярным углом φ = ∠ МОР;
2) радиус – вектором r = OM. При изучении уравнений, связывающих r и φ, бывает полезно рассматривать полярные координаты φ и r, принимающие какие угодно положительные значения. При этом отрицательные углы φ отсчитываются по часовой стрелке, а отрицательные r откладываются не по лучу, а по его продолжению за полюс. Если принять полюс за начало декартовых прямоугольных координат, а полярную ось ОР – за ось Ох, то декартовые координаты (х; y) точки М и ее полярные координаты (φ; r) будут связаны зависимостью
x = r·cos φ, y = r· sin φ; (1)
  . (2)
Если принять фокус эллипса, гиперболы и параболы за полюс, а фокальную ось симметрии за полярную ось, направленную в сторону, противоположную ближайшей вершине, то уравнение всех трех кривых в полярных координатах будет одинаковым:
, (3)
где ε - эксцентриситет, а р – параметр. Для эллипса и гиперболы .

330. В полярной системе координат (φ; r) построить точки А(0; 3). В(π ∕4;2), С(π ∕2; 3), D(π; 2), E(3π ∕2; 3).

331. Построить точки: A(π ∕2; - 2), B(- π ∕2; 3), C(- π ∕4; - 4), D(2π ∕3; - 3).

332. Построить линию r = 2 + 2·cos φ.
Указание. Составить таблицу значений r для φ = 0; ± π ∕3; ± π ∕2; ± 2π ∕3; π.

333. Построить линии:
1) r = a·φ (архимедова спираль);
2)  r = a·(1 - cos φ) (кардиоида)
3) r2 = a2cos 2φ  (лемниската)
4) r = a∕φ (гиперболическая спираль)
5) r = a·(1 + 2·cos φ)  (улитка Паскаля)
334. Построить линии: 1) r = a; 2) ; 3) .

335.Написать в полярных координатах уравнения: 1) прямой, отсекающей от полярной оси отрезок а и перпендикулярной к ней; 2) прямой, проходящей через точку А(α; а) и параллельной полярной оси.

336. Написать в полярных координатах уравнения прямой, проходящей через точку А(α ; а) составляющей с полярной осью угол β.

337. Написать в полярных координатах уравнение окружности с центром в точке С(0; а) и радиусом, равным а.

338. Построить кривые: 1) r = 3 - 2sin 2φ;  2) r = 2 + cos 3φ; 3) r = 1 – sin 3φ.
Указание . Определить сначала углы, при которых имеем rmax и rmin.

339. Построить линии

  1. r = a·sin 3φ (трехлепестковая роза);
  2. r = а·sin 2φ (четырех лепестковая роза).

340. Преобразовать к полярным координатам уравнения линий:
1 x2 – y2 = a2; 2 x 2 + y 2 = a 2 3 x cos α + y sin α — p = 0
4 у = x; 5 x 2 + y 2 = a·x;      6 (x 2 + y 2) 2 = a2·( x2 – y 2).
341. Преобразовать к декартовым координатам уравнения линий и построить линии:
1 r cos 5φ = a; 2 r = 2a sin φ; 3 r 2·sin 2φ = 2·а 2;
4 5 r = a·(1 + cosφ).
342. Написать канонические уравнения кривых второю порядка
1) ; 2) ; 3) .
343. Конхоида. Через точку A( π ∕2; а) проведена прямая, параллельная полярной оси. Произвольный луч 0В пересекает эту прямою в точке В. На луче от точки В по обе ее стороны отложены отрезки ВМ = ВМ 1 = b. Определить геометрическое место точек М и М 1 в полярных координатах и построить кривую.

344. Строфоида. Прямая х = а пересекает ось Ох в точке А и произвольный луч ОВ в точке В. На луче от точки В по обе ее стороны отложены отрезки ВМ 1 и ВМ 2, равные АВ. Написать уравнение геометрического места точек М 1 и М 2 в полярных и декартовых координатах.

345. Овал Кассини. Точка М(φ; r) движется так, что произведение расстояний от нее до точек F(0; с) и F 1(π; с) остается равным а 2. Написать уравнение траектории движения точки M в полярных координатах. Нажми на линк для просмотра рисунка

346. Кардиоида. На произвольном луче ОА от точки А пересечения его с окружностью r = a·cosφ откладывается по обе стороны отрезок AМ = AM 1 = а. Составить уравнение геометрического места точек М и M 1, в полярных и декартовых координатах.

347. Кардиоида (эпициклоида). Круг диаметра а катится без скольжения по кругу такого же диаметра снаружи его, Написать уравнение кривой, описанной точкой М катящейся окружности, если за полюс и начальное положение точки М принять точку касания кругов, а полярную ось провести через центры кругов (в начальном положении).
348. Построить кривые: 1) r = 3 + 2 cos 2φ; 2) r = 3 - 5sin 3φ; 3) r = a·cos 2φ.
Смотри указание к задаче 338.

349. Построить 1) r = 4(1 + cos φ);   2) r = 2 - sin φ.

350. Написать в полярных координатах уравнение прямой, проходящей через данные точки A (α; а) и B (β; b).
Указание. Рассмотреть зависимость между площадями треугольников AОМ, ВОМ и   АОВ, где M(φ; r) — произвольная точка прямой.

351. Написать канонические уравнения кривых второго порядка:

1) ; 2) ; 3) .
352. Лемниската Бернулли. Точка М(φ, r) движется так, что произведение ее расстояний от точек F(0; с) и F 1(π; с) остается равны с2. Написать уравнение траектории движения в полярных и декартовых координатах.
Указание. По теореме косинусов FM 2 = r 2 + с2 - 2·r·c·cosφ и F 1M2 = r2 + c2 + 2·r·c ·cosφ, причем по условию
FM 2·F1M2 = c4

353. Улитка Паскаля. На произвольном луче ОА от точки А пересечения его с окружностью r = a·cosφ по обе стороны отложены отрезки АМ = AM 1 = b. Составить уравнение геометрического места точек М в полярных координатах. Нажми на линк для просмотра рисунка

354. Четырехлепестковая роза. Концы отрезка АВ = 2а скользят по осям декартовых координат. Из начала координат опущен на АВ перпендикуляр ОМ. Написать уравнение геометрического места точек М(x; y) при всевозможных положениях отрезка АВ.