К разделу
Главная страница раздела 1
Главная страница раздела 2
Предметный указатель
Ответы

§ 17. Алгебраические кривые третьего и высших порядков

355. Построить кривые:
  1. y = x3∕3    (кубическая парабола); Нажми на линк для просмотра рисунка
  2. y ² = x ³ (полукубическая парабола);
  3. y ³ = x ² (полукубическая парабола); Нажми на линк для просмотра рисунка
  4. y2 = x·(x - 4)2 (Петлевая парабола). Нажми на линк для просмотра рисунка
356. Построить кривые:
  1. x 2/3 + y 2/3 = a2/3 (астроида равносторонняя) Нажми на линк для просмотра рисунка
  2. , b ≠ a (астроида неравносторонняя).
Указание. Найти точки пересечения кривых с осями Ох и Оу и первой кривой с прямыми y = ± x, а второй – с прямыми .
357. Построить на отрезке [ - 1; 1] кривые: 1) у = х 2n + 1; 2) у = х 2n, 3) x2n + y 2n = 1 при n = 1, 2, 4. К каким ломаным приближаются эти кривые, когда n → ∞?
Указание. Найти точки пересечения первой кривой с прямой , второй кривой с прямой и третьей кривой с прямой у = х. За единицу масштаба принять 10 клеток клетчатой бумаги.

358. Астроида. Нажми на линк для просмотра рисункаКонцы отрезка АВ = а скользят по осям декартовых координат. Прямые АС и ВС, параллельные осям координат, пересекаются в точке С. Из С опущен на АВ перпендикуляр СМ. Написать уравнение геометрического места точки М(x, y) при всевозможных положениях отрезка AB.

359. Построить кривые:
  1.   (циссоида) Нажми на линк для просмотра рисунка
  2.    (локон) Нажми на линк для просмотра рисунка
360. Каждая   точка Р(х0; у0) параболы у 2 = 2рх смещена параллельно оси Ох на расстояние РМ = ± ОР. Найти геометрическое место точек М.

361. Стержень ОА = а вращается вокруг начала координат О. В точке А к нему прикреплен шарниром стержень АВ = 2а, конец которого скользит по Ох. Написать уравнение линии, которую будет описывать при этом середина М отрезка АВ.

362. Циссоида. Произвольный луч ОА пересекает окружность х 2 + у 2 = ах в точке А прямую х = а в точке В. На луче откладывается отрезок ОМ = АВ. Составить уравнение геометрического места точек М. Нажми на линк для просмотра рисунка

363. Произвольный луч ОВ пересекает прямую х = а в точке В. С – проекция точки В на ось Оу и М – проекция точки С на прямую ОВ. Показать, что геометрическое место точек М есть циссоида.

364. Если из вершины параболы y2 = - 4 ax опускать перпендикуляры касательные к этой кривой, то геометрическим местом оснований перпендикуляров будет циссоида. Доказать.

365. Л о к о н. Произвольный луч ОА пересекает окружность x2 + y2 = 2 ax и прямую y = 2a в точках А и В, из которых проведены прямые, параллельные соответственно оси Ох и оси Оу до пересечения в точке М. Определить геометрическое место точек М.

366. Декартов лист x3 + y3 - 3 axy = 0. Показать, что это уравнение поворотом осей координат на 45° приводится к виду , где . Построить кривую, определив в новой системе координат область расположения кривой и её симметрию, точки пересечения с прямой у = х (т. е. с новой осью ОХ) и асимптоту. Показать, что уравнение асимптоты в новой системе координат будет х = - b, а в старой x + y + a = 0. Нажми на линк для просмотра рисунка