К разделу
Главная страница раздела 1
Главная страница раздела 2
Предметный указатель
Ответы

§1. Сложение векторов. Умножение вектора на скаляр

   1°. Определения. Вектором называется направленный отрезок АВ (рис.13), в котором точка А рассматривается как начало, а точка В - как конец. Вектор обозначается или указание его начала и конца АВ с чертой наверху, или одной какой-нибудь буквой, например а. Модуль (длинна) вектора обозначается | AB |, или | a |, или АВ, или а. Векторы, параллейные одной прямой называются коллинеарными. Векторы, параллейные одной плоскости называются компланарными.
Два вектора а и b (рис. 13) называются равными, если они 1) имеют равные модули, 2) коллинеарны , 3) направлены в одну сторону.
2°. Умножение вектора на скаляр. Произведение вектора а на число (скаляр) m называется новый вектор, имеющий длину a|m| и направленный одинаково с а (при m > 0) или противоположно а (при m < 0).
3°. Сложение векторов. Суммой векторов a + b + c называется вектор R = OC (рис. 14), замыкающий ломанную OABC, построенную из данных векторов. В частности, в параллелограмме, построенном на данных векторах. OA = а и OB = b, одна вектор-диагональ OC есть сумма a + b, а другая BA есть разность a - b данных векторов.
4°. Проекция вектора на ось. Пусть вектор а составляет угол φ с осью Ох. Тогда проекция вектора на эту ось определяется формулой прха = | a |·cos φ.
Проекция суммы векторов на ось равна сумме проекций составляющих векторов на ту же ось:
прх(а + b) = прхa + прхb
372. По сторонам ОА и ОВ прямоугольника ОАСВ отложены единичные вектор i и j (рис. 15). Выразить через i и j векторы OA , AC, CB, BO, OC и BA, если ОА = 3 и ОВ = 4.

373. Пусть на рис. 15 М – середина ВС и N – середина АС. Определить векторы OM, ON и MN при ОА = 3 и ОВ = 4.

374. На плоскости даны точки А (0; -2), В (4; 2) и С (4; -2). В начале координат приложены силы OA, ОВ и ОС . Построить их равнодействующую ОМ, найти её проекции на оси координат и величину. Выразить силы ОА, ОВ , ОС и ОМ через единичные векторы i и j координатных осей.

375. Даны три компланарных единичных вектора m , n и p , причем угол между векторами m и n равен 30° и угол между векторами n и p равен 60°. Построить вектор u = m + 2n - 3p и вычислить его модуль.
Указание. В ломаной, построенной из векторов m, 2n и - 3p, продолжить первое звено до пересечения с третьим.

376. Проверить аналитически и геометрически векторные тождества: 1) ; 2) .

377. На трех некомпланарных векторах ОА = а , ОВ = b и ОC = c построен параллелепипед. Указать те его вектор - диагонали, которые соответственно равны a + b - c, a - b + c, a - b - c и b - a - c.

378. С помощью чертежа задачи 377 проверить переместительное свойство векторной суммы a + b - c = a - c + b = b + a - c = b - c + a.

379. Даны векторы OA = a и OB = b . Вектор OC = c - медиана Δ OAB. Разложить аналитически и геометрически:
1) вектор c по векторам a и b; 2) вектор a по векторам b и c.

380. В прямоугольнике ОАСВ (рис.15) M и N- середины сторон BC = 3 и AC = 4 разложить геометрически и аналитически вектор OC = c по векторам OM = a и ON = b.
Указание. В условие с = ma + nb подставить выражения a, b и c через i и j и сравнить коэффициенты слева и справа при i и j.

381. Дан правильный шестиугольник OABCDE со стороной OA = 3. Обозначив единичные векторы направлений OA, AB, BC через m, n и p, установить зависимость между ними (например, рассмотрением трапеции OABC). Выразить затем через m и n векторы OB, BC, EO, OD и DA.

382. В равнобедренной трапеции OABC (рис. 16) угол ∠ BOA = 60°, OB = BC = CA = 2, M и N - середины сторон BC и AC . Выразить векторы AC, OM, ON и MN через m и n - единичные векторы направлений OA и OB.

383. Даны векторы a и b, угол между которыми 120°. Построить вектор
c = 2a - 1,5b и определить его модуль, если a = 3 и b =4.

384. На плоскости даны точки А (3; 3), В (- 3; 3) и С (- 3; 0). В начале координат приложены силы OA, OB и OC. Построить равнодействующую OM, найти её проекции на оси координат и величину. Выразить силы OA, OB, OC и OM через единичные векторы i и j координатных осей.

385. 1) В трапеции OACB имеем DC = OA / 3 и BC || OA. Разложить геометрически и аналитически вектор OA = a по векторам OC = c и OB = b.
Указание Из Δ OBC можно c выразить через b и a и затем решить полученное уравнение относительно a . 2) Точка B делит дугу окружности AC = 90° в отношении 1 : 2. O - центр окружности. Разложить вектор OC = c по векторам OA = a и OB = b.