К разделу
Главная страница раздела 1
Главная страница раздела 2
Предметный указатель
Ответы

§ 2. Прямоугольные координаты точки и вектора в пространстве

1°. . О п р е д е л е н и е . Пусть даны три взаимно перпендикулярные координатные оси с общим началом О и дана точка М (рис. 17). Проекции её радиус- вектора OM = r на оси координат OM1 = x, OM2 = y и OM3 = z называются прямоугольными координатами точки M или вектора OM = r.
2°.Радиус- вектор точки в пространстве. Модуль или длина радиус- вектора OM = r :
(1)
Единичные векторы координатных осей i, j и k называются ортами. Радиус-вектор выражается через орты:
r = x·i + y·j + z·k (2)
3°.Вектор, заданный координатами начала и конца. Пусть даны точки A (x 1, y 1, z 1) и B (x 2, y 2, z 2) Проекции вектора u =AB на оси координат будут:
(3)
Можно написать формулы, аналогичные формулам (1), (2):
(4)
(5)
Если α, β и γ - углы вектора u =AB с осями координат, то
, , (6)
причём
cos2α + cos2β + cos2γ = 1 (7)
т.е. сумма квадратов направляющих косинусов вектора равна 1.
    Из формул (4) - (6) следует, что вектор u вполне определяется тремя числами: X, Y и Z- его проекциями или его координатами. Поэтому иногда пишут или говорят: дан вектор u{X, Y, Z}.

386. Построить точку М(5; -3; 4) и определить длину и направление её радиус - вектора.

387. Построить вектор r = OM = 2i + 3j +6k и определить его длину и направление (проверить по формуле cos2α + cos2β + cos2γ = 1).

388. Вектор составляет с осями Ox и Oz углы 40° и 80° . Найти его угол с осью Oy .

389. Радиус-вектор точки М составляет с осью Ox угол 45° и с осью Oy угол 60°. Длина его r = 6. Определить координаты точки М, если её координата отрицательна И выразить вектор OM = r через орты i, j, k.

390. Даны точки А (1; 2; 3) и В(3; -4; 6). Построить вектор AB = u, его проекции на оси координат и определить длину и направление вектора. Построить углы вектора u с осями координат.

391. Построить параллелограмм на векторах OA = i + j и OB = k - 3j и определить его диагонали.

392. В точке А (2; 1; -1) приложена сила R = 7. Зная две координаты этой силы X = 2 и Y = - 3, определить направление и конец вектора, изображающего силу. (видео)

393. На плоскости даны точки A(4; 2), B(2; 3) и C(0; 5) и построены векторы OA = a, OB = b и OC = c. Разложить геометрически и аналитически вектор a по векторам b и c.
394. Даны точки A(2; 2; 0) и B(0; 2; 5). Построить вектор и определить его длину и направление.

395. Вектор OM = r составляет с осями координат равные острые углы. Определить эти углы и построить вектор r , если его длина равна .

396. Вектор составляет с осями Oy и Oz углы 60° и 120°. Какой угол он составляет с осью Ox?

397. Даны три последовательные вершины параллелограмма A(1; -2; 3), B(3; 2; 1) и C(6; 4; 4). Найти его четвертую вершину D.
Указание Из равенства AD = BC следует, что равны и их координаты: x - 1 = 6 - 3 и т. д.

398. На плоскости xOy построить векторы OA = a = 2i, OB = b = 3i + 3j и OC = c = 2i +6j. Разложить геометрически и аналитически вектор c по векторам a и b.