К разделу
В.П. Минорский. Сборник задач по высшей математике
Главная страница раздела 1
Главная страница раздела 2
Предметный указатель
Ответы

§ 4. Векторное произведение двух векторов

1°. Определение. Векторным произведением вектора а на вектор b называется такой третий вектор с (рис. 19), который:
  1. имеет модуль, численно равный площади параллелограмма, построенного на векторах а и b;
  2. перпендикулярен к плоскости параллелограмма;
  3. направлен в такую сторону, с которой кратчайшее вращение от а к b рассматривается совершающимся против часовой стрелки. Такое расположение векторов a, b и c называется правой связкой.
Векторное произведение обозначается a × b. Итак, a × b = с, если:
  1. с = | a × b | = ab sin φ,
  2. c ⊥ a и c ⊥ b,
  3. a, b и c составляют правую связку.
         2°. Свойства векторного произведения:
  1.  a × b = - b × a.
  2.  a × (b + c) = a × b + a × c – распределительный закон.
  3.  Если a ∥ b, то a × b = 0, в частности а × а = 0.
         3°. Векторные произведения ортов:
i × j = k, j × k = i, k × i = j. (1)
Вообще произведение любых двух смежных векторов в последовательности i, j, k, i, j даёт следующий вектор со знаком +, а в обратной последовательности - со знаком -.
   4°. Выражение векторного произведения через координаты сомножителей a{ax ,ay, az} и b{bx ,by, bz}.
(2)
5°.    Площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b:
(3)
а площадь треугольника, построенного на векторах a и b:
(4)
426. Определить и построить вектор с = a × b, если: 1) a = 3i, b = 2k; 2) a = i + j, b = i - j; 3) a = 2i + 2j, b= 3j + 2k. Найти в каждом случае площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b.

427. Вычислить площадь треугольника с вершинами А(7; 3; 4), В(1; 0; 6) и С(4; 5; -2).

428. Построить параллелограмм на векторах a = 2i + k, b = i + 2k и вычислить его площадь и высоту.

429. Раскрыть скобки и упростить выражения: (видео)

  1. i ×(j + k) - j × (i + k) + k × (i + j + k);
  2. (a + b + c)× c + (a + b + c) × b + (b - c) × c;
  3. (2a + b) × (c - a) + (b + c) × (a + b);
  4. 2i·(i × j) + 3j·(i × k) + 4k·(i × j).
430. Доказать, что (a - b) × ( a + b) = 2а × b, и выяснить геометрическое значение этого тождества.

431. Векторы a и b составляют угол 45°. Найти площадь треугольника, построенного на векторах a - 2b и 3a + 2b, если |a| = | b | = 5.

432. Найти площадь параллелограмма, диагоналями которого служат векторы 2m - n и 4m - 5n, где m и n - единичные векторы, образующие угол 45°.
Указание. Имеем a + b = 2m - n и a - b = 4m - 5n, где с и b - векторы-стороны параллелограмма. Перемножив, найдём вектор 2b × a, модуль которого и равен удвоенной искомой площади.
433. Построить векторы a = 3k - 2j, b = 3i - 2j и с = a × b. Вычислить модуль вектора с и площадь треугольника, построенного на векторах a и b.

434. Построить треугольник с вершинами А (1; - 2; 8), В (0; 0; 4) и С(6; 2; 0). Вычислить его площадь и высоту BD.

435. вычислить диагонали и площадь параллелограмма, построенного на векторах a = k - j и b = i + j + k.

436. Доказать, что (2 a + b) × (a + 2b) = 3 a × b.

437. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах a = m + 2n и b = 2m + n, где m и n - единичные векторы, образующие угол 30°.