К разделу
Главная страница раздела 1
Главная страница раздела 2
Предметный указатель
Ответы

§ 5. Смешанное произведение трёх векторов

1°. Определение. Смешанным произведением векторов a, b и c называется выражение вида a ×(b × c.
   Если векторы a, b и c заданы своими координатами, то
. (1)
2°. Свойства смешанного произведения.
  1. От перестановки двух любых сомножителей смешанное произведение меняет знак:
    (a × b)·c = - (a × c)·b = - (c × b)·a. (2)
  2. Если два из трёх данных векторов равны или параллельны, то их смешанное произведение равно 0.
  3. Знаки операций "точка" и "крест" можно поменять местами, (a × b)·c = a·(b × c); поэтому смешанное произведение принято записывать в виде abc, т. е. без знаков действий и без скобок.
3°. Объём параллелепипеда, построенного на векторах a, b и c.
V = ± abc ( + при правой связке и - при левой связке)
Объём пирамиды, построенной на векторах a, b и c:
Vпир = ± abc ∕ 6.
4°. Условие компланарности. Если a, b и c компланарны, то abc = 0 и обратно. При этом между a, b и c существует линейная зависимость вида c = m a + n b.

438. Построить параллелепипед на векторах a = 3 i + 4 j, b = - 3 i + k, c = 2 i + 5 k и вычислить его объём. Правой или левой будет связка векторов (a, b, c)?

439. Построить пирамиду с вершинами О(0; 0; 0), А(5; 2; 0), В(2; 5; 0) и С(1; 2; 4) и вычислить её объём, площадь грани АВС и высоту пирамиды, опущенную на эту грань.

440. Показать, что точки А (2; - 1; - 2), В (1; 2; 1), С (2; 3; 0) и D (5; 0; - 6) лежат в одной плоскости.

441. Показать, что векторы а = - i + 3 j + 2 k, b = 2 i - 3 j - 4 k, c = - 3 i + 12 j + 6 k компланарны, и разложить вектор c по векторам а и b.

442. Показать, что 1) (a + b)·[(a + c) × b] = - abc; 2) (a + 2b - c)· [(a - b) × (a - b - c)] = 3abc.

443.Найти объём тетраэдра, построенного на векторах ОА, ОВ и ОС, если эти векторы направлены по биссектрисам координатных углов и длина каждого вектора равна 2.
444. Построить пирамиду с вершинами А (2; 0; 0), (0; 3; 0), С (0; 0; 6) и D(2; 3; 8), вычислить её объём и высоту, опущенную на грань АВС.

445. Построить векторы а = i + j + 4k, b = i - 2j и c = 3i - 3j + 4k, показать, что они компланарны, и найти линейную зависимость между ними.

446. Показать, что объём параллелепипеда, построенного на диагоналях граней данного параллелепипеда, равен удвоенному объёму данного параллелепипеда.

447. Даны единичные векторы m, n и р. Угол . Доказать, что тогда
(m × n) · p = ½· sin 2α.

448. При любых векторах а, b и с векторы а - b, b - c и c - a компланарны. Доказать, что аналитически и геометрически (рассмотрением параллелепипеда, построенного на векторах а, b и с).

449. Вычислить объём параллелепипеда ОАВСО1А1В1С1, в котором даны три вершины нижнего основания О (0; 0; 0), А (2; - 3; 0) и С (3; 2; 0), и вершина верхнего основания В1 (3; 0; 4), лежащая на боковом ребре ВВ1, противоположном ребру ОО1.