К разделу
Главная страница раздела 1
Главная страница раздела 2
Предметный указатель
Ответы

ГЛАВА 3
§ 1. Уравнение плоскости

   1°.Уравнение плоскости, проходящей через точку М1 (x1, y1, z1) и перпендикулярной к вектору N {A; B; C}.
   Пусть М (x, y, z) – произвольная точка плоскости (рис. 20). Тогда M1M ^ N и по условию перпендикулярности векторов
A·(x - x1) + B·(y - y1) + C·(z - z1) = 0. (1)
   2°. Общее уравнение плоскости:
A·x + B·y + C·z + D = 0. (2)
Вектор N {A; B; C} называется нормальным вектором к плоскости (1) или (2).
   3°. Особые случаи уравнения A·x + B·y + C·z + D = 0:
  1.  D = 0, A·x + B·y + C·z = 0 – плоскость проходит через начало координат.
  2.  С = 0, A·x + B·y + D = 0 – плоскость параллельна оси Oz.
  3.  C = D = 0, A·x + B·y = 0 – плоскость проходит через ось Oz.
  4.  B = C = 0, A·x + D = 0 – плоскость параллельна плоскости yOz
  5.  Уравнения координатных плоскостей: х = 0, у = 0, z = 0.
4°.Уравнение плоскости в отрезках на осях:
(3)
450. Построить плоскости: 1) 5x - 2y + 3z - 10 = 0; 2) 3x + 2y - z = 0; 3) 3x + 2z = 6; 4) 2z - 7 = 0. (видео)

451. Построить плоскость 2x + 3y + 6z - 12 = 0 и найти углы нормали к плоскости с осями координат. (видео)

452. Даны точки M1 (0; - 1; 3) и М2 (1; 3; 5). Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M1 и перпендикулярной к вектору N = M1М2.

453. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М (a; a; 0) и перпендикулярной к вектору ОМ.

454. Написать уравнение геометрического места точек, равноудалённых от точек А (a; - a ∕ 2; a) и В (0; a ∕ 2; 0).

455. Написать уравнение плоскости, параллельной оси Ох и проходящей через точки М1 (0; 1; 3) и М2 9 2; 4; 5), и построить её.

456. Написать уравнение плоскости, проходящей через ось Ох и точку М1 (0; - 2; 3). Построить плоскость.

457. Написать уравнение плоскости, проходящей через ось Оz, и точку М1 (2; - 4; 3). Построить плоскость.

458. Написать уравнение плоскости, параллельной оси Оу и отсекающей на осях Ох и Оz отрезки а и с. Построить её.

459. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М (2; - 1; 3) и отсекающей на осях координат равные отрезки.

460. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М1 (- 4; 0; 4) и отсекающей на осях Ох и Оу отрезки a = 4 и b = 3.
461. Построить плоскости: 1) 2x + y - z + 6 = 0; 2) x - y - z = 0; 3) у - 2z +8 = 0; 4) 2х - 5 = 0; 5) x + z = 1; 6) y + z = 0.

462. Построить плоскость 2x - 2y + z - 6 = 0 и найти углы нормали к плоскости с осями координат.

463. Через точку М( - 1; 2; 3) проведена плоскость, перпендикулярная ОM. Написать её уравнение.

464. Написать уравнение плоскости, проходящей через ось Оу и через точку (4; 0; 3). Построить плоскость.

465. Написать уравнение плоскости, параллельной оси Оz и проходящей через точку М1 (2; 2; 0) и М2 (4; 0; 0). Построить плоскость.

466. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М1 (1; - 3; 5) и отсекающей на осях Оу и Оz вдвое большие отрезки, чем на оси Ох.