К разделу
Главная страница раздела 1
Главная страница раздела 2
Предметный указатель
Ответы

§ 2. Основные задачи на плоскость

   1°.Угол, образованный двумя плоскостями:
(1)
где N и N1 – нормальные векторы к плоскостям Ax + By + Cz + D = 0 и A1x + B1y + C1z + D1 = 0.
Условие параллельности . (2)
Условие перпендикулярности A·A1 + B·B1 + C·C1 = 0. (3)
   2°. Расстояние от точки М0 (x0; y0; z0) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0:
. (4)
   3°.Уравнение пучка плоскостей, проходящих через линию пересечения двух данных плоскостей:
α·( A·x + B·y + C·z + D ) + β·( A1·x+ B1·y + C1·z + D1 ) = 0. (5)
Можно положить α = 1, исключив этим из пучка (5) вторую из данных плоскостей.

467. Найти угол между плоскостями:

1) x - 2y + 2z - 8 = 0 и x + z - 6 = 0;
2) x + 2z - 6 = 0 и x + 2y - 4 = 0.
468. Найти плоскость, проходящую через точку (2; 2; - 2) и параллельную плоскости x - 2y - 3z = 0.

469. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку ( - 1; - 1; 2) и перпендикулярной к плоскостям
x - 2y + z - 4 = 0 и x + 2y - 2z + 4 = 0.

470. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку ( 0; 0; a) и перпендикулярной к плоскостям
x - y - z = 0 и x = 2y.

471. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М1( - 1; - 2; 0) и М2 (1; 1; 2) и перпендикулярной к плоскости x + 2y + 2z - 4 = 0.

472. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М1( 1; - 1; 2), М2 (2; 1; 2) и М3( 1; 1; 4).

473. Через ось Oz провести плоскость, составляющую с плоскостью угол 60°.

474.Найти расстояние от точки (5; 1; - 1) до плоскости x - 2y - 2z + 4 = 0.

475. Найти расстояние от точки (4; 3; 0) до плоскости, проходящей через точки М1( 1; 3; 0), М2 (4; - 1; 2) и
М3( 3; 0; 1).

476. Найти расстояние между параллельными плоскостями 4x + 3y - 5z - 8 = 0 и 4x + 3y - 5z + 12 = 0.
Указание. Взять на первой плоскости любую точку, например (2; 0; 0), и найти её расстояние от другой плоскости.

477. 1) Написать уравнение плоскостей, параллельных плоскости x - 2y + 2z - 5 = 0 и удалённых от неё на расстояние, равное 2.
     2)Написать уравнение плоскостей, делящих пополам двугранный угол, образованный плоскостями 2x + 2y = z и
z = 0, и построить данные и искомые плоскости.

478.  1) Написать уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей 2x - y + 3z - 6 = 0,
x + 2y - z + 3 = 0 и через точку (1; 2; 4).
        2) Найти две взаимно перпендикулярные плоскости, проходящие через прямую пересечения плоскостей х = у и
z = 0, если одна из искомых плоскостей проходит через точку (0; 4; 2). Построить прямую и искомые плоскости.

479. Найти точку пересечения плоскостей 2x - y + 3z - 9 = 0, x + 2y + 2z - 3 = 0 и 3x + y - 4z + 6 = 0.

480. Найти плоскость, проходящую через точку (2; - 1; 1) и перпендикулярной к плоскостям 3x + 2y - z + 4 = 0 и
x + y + z - 3 = 0. Построить её.

481. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки (0; - 5; 0) и (0; 0; 2) и перпендикулярной к плоскости
x + 5y + 2z - 10 = 0. Построить её.

482. Найти угол плоскости, проходящей через точки О(0; 0; 0), М1(a, - a, 0) и М2 (a, a, a), с плоскостью хОу.

483. Найти расстояние от начала координат до плоскости, проходящей через точки М1(a, 0, 0), М2 (0, a, 0) и М3 (a, a, a).

484. Написать уравнение плоскости, проходящей через ось Ох и составляющей угол 60° с плоскостью у = х.

485. Найти расстояние от точки (а; b; c) до плоскости, отсекающей на осях координат отрезки а, b, c.

486. Написать уравнение плоскостей, параллельных плоскости 2x + 2y + z - 8 = 0 и удалённых от неё на расстояние
d = 4.

487. Написать уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей 4x - y + 3z - 6 = 0 и
x + 5y - z + 10 = 0 и перпендикулярной к плоскости 2x - y + 5z - 5 = 0.