К разделу
Главная страница раздела 1
Главная страница раздела 2
Предметный указатель
Ответы

§ 3. Уравнение прямой

   1°.Уравнение прямой, проходящей через точку А(а, b, c) и параллельной вектору Р (m; n; p). Пусть М (x; y; z) – произвольная точка прямой (рис. 21), тогда АМ || P и по условию параллельности векторов
. (1)
   Уравнения (1) называются каноническими уравнениями прямой. Вектор Р (m; n; p) называется направляющим вектором прямой.
   2°. Параметрическое уравнение прямой получим, приравняв каждое из соотношений (1) параметру t:
. (2)
   3°. Уравнение прямой, проходящей через две точки:
. (3)
   4°.Общие уравнения прямой:
. (4)
   5°. Уравнения прямой в проекциях получим, исключив из общих уравнений (4) один раз у, другой раз х:
. (5)
   Уравнения (5) можно записать в канонической форме:
.
488. Найти следы прямых: 1) x = z + 5, y = 4 - 2z и 2) на плоскостях хОу и хОz и построить прямые.
Указание. Положить в уравнениях прямой 1) z = 0; 2) y = 0.

489. Уравнения прямой x + 2y + 3z - 13 = 0, 3x + y + 4z - 14 = 0 написать: 1) в проекциях; 2) в канонической форме. Найти следы прямой на координатных плоскостях, построить прямую и её проекции.

490. Написать уравнения прямой, проходящей через точку А (4; 3; 0) и параллельной вектору Р (- 1; 1; 1). Найти след прямой на плоскости yOz и построить прямую.

491. Построить прямую х = 4, у = 3 и найти её направляющий вектор.

492. Построить прямые: 1) у = 3, z = 2; 2) у = 2, z = x + 1; 3) x = 4, z = y и определить их направляющие векторы.

493. Написать уравнения прямой, проходящей через точки А (- 1; 2; 3) и В (2; 6; - 2), и найти её направляющие векторы.

494. Построить прямую, проходящую через точки А (2; - 1; 3) и В (2; 3; 3), и написать её уравнение.

495. Написать уравнения траектории точки М (х; у; z), которая, выйдя из точки А (4; - 3; 1), движется со скоростью v (2; 3; 1).

496. Написать параметрические уравнения прямой:
1) проходящей через точку (- 2; 1; - 1) и параллельной вектору Р (1; - 2; 3);
2) проходящей через точки А (3; - 1; 4) и В (1; 1; 2).
497. Написать уравнения прямой, проходящей через точку (а, b, c): 1) параллельной оси Oz; 2) перпендикулярной к оси Oz. 498. Найти угол прямой x = 2z - 1, y = - 2z + 1 с прямой, проходящей через начало координат и через точку (1; - 1; - 1).

499. Найти угол между прямыми: x - y + z - 4 = 0, 2x + y - 2z + 5 = 0 и х + у + z - 4 = 0, 2x + 3y - z - 6 = 0.
Указание. Направляющий вектор каждой из прямых можно определить как векторное произведение нормальных векторов плоскостей (Р = N × N1).

500. Показать, что прямая перпендикулярна к прямой x = z + 1, y = 1 - z.

501. Написать уравнения прямой, проходящей через точку (- 4; 3; 0) и параллельной прямой х - 2у + z = 4, 2х + у - z = 0.

502. Написать уравнения перпендикуляра, опущенного из точки (2; -3; 4) на ось Оz.
Указание. Искомая прямая проходит еще через точку (0; 0; 4).

503. Найти расстояние от точки М (2; -1; 3) до прямой .
Указание. Точка А(- 1; - 2; 1) лежит на прямой; Р{3; 4; 5} - направляющий вектор прямой. Тогда

504. Найти расстояние между параллельными прямыми и .
505. Найти следы прямой на координатных плоскостях и построить прямую.

506. Уравнения прямой 2x + y + 8z - 16 = 0, x - 2y - z + 2 = 0 написать: 1) в проекциях; 2) в канонической форме. Найти следы прямой на координатных плоскостях, построить прямую и ее проекции.

507. Написать уравнения прямой, проходящей через точку А(0; - 4; 0) и параллельной вектору Р{1; 2; 3}, найти след прямой на плоскости xOz и построить прямую.

508. Построить прямую х = 3, z = 5 и найти ее направляющий вектор.

509. Найти направляющей вектор прямой х + у - z = 0, у = x и найти углы прямой с осями координат (см. указание к задаче 499).

510. Написать уравнения перпендикуляра, опущенного из точки (2; - 3; 4) на ось Oy.

511. Найти угол между прямыми 2х - у - 7 = 0, 2x - z + 5 = 0 и 3х - 2y + 8 = 0, z = 3x.

512. Написать уравнения прямой, проходящей через точку (- 1; 2; - 2) и параллельной прямой х - y = 2, y = 2z + 1.

513. Найти расстояние от точки М(3; 0; 4) до прямой y = 2х + 1, z = 2x (см. задачу 503).