К разделу
Главная страница раздела 1
Главная страница раздела 2
Предметный указатель
Ответы

§ 4.Прямая и плоскость

1°. Угол между прямой и плоскостью Ax + By + Сz + D = 0:
. (1)
Условие их параллельности (N ^ P):
A m + B n + C p = 0. (2)
Условие их перпендикулярности (N || P):
. (3)
2°. Точка переселения прямой и плоскости. Написав параметрические уравнения прямой x = mt + a, у = nt + b, z = pt + c, подставим в уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0 вместо x, y, z их выражения через t. Найдем t0, а затем x0, y0, z0 – координаты точки пересечения. 3°. Условие расположения двух прямых в одной плоскости:
. (4)
514. Найти угол прямой у= 3х - 1, 2z = - 3x + 2 с плоскостью 2х + y + z - 4 = 0.

515. Показать, что прямая параллельна плоскости 2х + y - z = 0, а прямая лежит в этой плоскости.

516. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку (-1; 2; - 3) и перпендикулярной к прямой x = 2, y - z = 1.

517. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку (3; 4; 0).

518. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую и перпендикулярной к плоскости 2х + 3у - z = 4.

519. Написать уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые и .

520. Написать уравнения прямой, проходящей через начало координат и составляющей равные углы с плоскостями 4у = 3х, у = 0 и z = 0. Найти эти углы.

521. Найти точку пересечения прямой x = 2t - 1, у = t + 2, z = 1 - t с плоскостью 3х - 2у + z = 3.

522. Найти точку пересечения прямой с плоскостью х + 2у + 3z - 29 = 0.

523. Найти проекцию точки (3; 1; - 1) на плоскость x + 2y + 3z - 30 = 0. (видео)

524. Найти проекцию точки (2; 3; 4) на прямую х = у = z.

525. Найти кратчайшее расстояние непараллельными прямыми:
1) и .
2) и .
Указание. Предполагая прямые в общем случае скрещивающимися, нарисуем параллельные плоскости, в которых они расположены. Из точек A(а; b; с) и А1(а1; b1; c1) проведем векторы AB = A1B1 = P(m; n; p) и AC = A1C1 = P1(m1; n1; p1). Высота призмы ABCA1B1C1 и равна искомому расстоянию.

526. Показать, что прямые x = z - 2, y = 2z + 1 и пересекаются, и написать уравнение плоскости, в которой они расположены.

527. Написать уравнения перпендикуляра, опущенного из точки (2; 1; 0) на прямую x = 3z - 1, у = 2z.

528. Построить плоскость х + у - z = 0 и прямую, проходящую через точки A(0; 0; 4) и B(2; 2; 0). Найти точку пересечения прямой с плоскостью и угол между ними.

529. Построить плоскость у = z, прямую х = - z + 1, y = 2 и найти:
1) точку их пересечения;
2) угол между ними.

530. Найти проекцию точки (3; 1; - 1) на плоскость 3х + у + z - 20 = 0.

531. Найти проекцию точки (1; 2; 8) на прямую .

532. Написать уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые и .

533. Показать, что прямые и x = 3z - 4, y = z + 2 пересекаются, найти точку их пересечения.

534. Написать уравнения перпендикуляра, опущенного из точки (1; 0; -1) на прямую .

535. Найти кратчайшее расстояние между прямыми х = - 2у = z и х = y = 2.