К разделу
Главная страница раздела 1
Главная страница раздела 2
Предметный указатель
Ответы

§ 5. Сферические и цилиндрические поверхности

   1°. Уравнение сферической поверхности с центром С (а, b, с) и радиусом R:
(х - а)2 + (у - b)2 + (z - с)2 = R2 (1)
   2°. Уравнение F (х, у) = 0, не содержащее z, определяет цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной оси Oz. Аналогично каждое из уравнений: 1) F(y, z) = 0 и 2) F(x, z) = 0 определяет цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной: 1) Ox; 2) Оу.
   3°. Уравнение цилиндрической поверхности с направляющей F(x, у) = 0, z = 0 и с образующей, параллельной вектору Р{m; n; p}. Уравнение произвольной образующей будет
,
где (x0; y0; 0) - точка, на направляющей.
Определив отсюда x0 и у0 и подставив их в уравнение направляющей, получим уравнение цилиндрической поверхности:
. (2)
536. Найти центр и радиус сферы: 1) х2 + у2 + z2- 3х + 5у - 4z = 0; 2) х2 + у2 + z2 = 2аz и построить изображение второй сферы. (видео)

537. Написать уравнение сферической поверхности, вписанной в тетраэдр, образованный плоскостями 3x - 2y + 6z - 18 = 0, x = 0, y = 0, z = 0

538. Написать уравнение геометрического места точек, расположенных вдвое ближе к точке A(2; 0; 0), чем к точке В(-4; 0; 0).

539. Написать уравнение сферической поверхности, проходящей через окружность х2 + у2 + z2 = а2, х + у + z = а и через точку (a; а; а).
Указание. Искомое уравнение должно иметь вид: х2 + у2 + z2 - а2 + λ·(х + у + z - а) = 0.

540. Построить в левой системе координат поверхности 1) y2 + z2 = 4; 2) y2 = a·x; 3) xz = 4; 4) x2 + y2 = a·x.

541. Написать уравнение геометрического места точек, одинаково удаленных от прямой х = а, у = 0 и плоскости уОz. Построить поверхность.

542. Написать уравнения трех цилиндрических поверхностей, описанных около сферы х2 + у2 + z2 -2ах = 0 с образующими, параллельными соответственно: 1) оси Ох; 2) оси Оу; 3) оси Оz.

543. Нарисовать в первом октанте левой системы координат кривую Вивиани: x2 + y2 + z2 = 16, x2 + y2 = 4x, построив ее точки при х = 0; 2 и 4. Показать, что проекция кривой на плоскость xOz есть парабола.

544. Найти центр и радиус окружности x2 + y2 + z2 = 10x, x + 2y + 2z - 19 = 0.
Указание. Центр окружности есть проекция центра шара на плоскость (см. задачу 530).

545. Написать уравнение цилиндрической поверхности с направляющей у2 = 4х, z = 0 и с образующей, параллельной вектору Р{1; 2; 3}.

546. Построить в первом октанте поверхность (х + у)2 + аz = а2 по сечениям плоскостями х = 0, y = 0, z = 0,
z = h ≤ a и показать, что эта поверхность цилиндрическая с образующими, параллельными прямой х + y = а, z = 0.

547. Шар х2 + y2 + z2 = 4z освещен лучами, параллельными прямой x = 0, у = z. Найти форму тени шара на плоскости xOy.
Указание. Нужно написать уравнение цилиндрической поверхности, образованной лучами, касательными к шару. За ее направляющую принять линию сечения шара плоскостью, проходящей через центр шара и перпендикулярной к лучам.

548. Написать уравнение плоскости, проходящей через центр С поверхности x2 + у2 + z2 - 2x + у - 3z = 0 и перпендикулярной к прямой ОС.

549. Написать уравнение геометрического места точек, удаленных вдвое дальше от начала координат, чем от точки (0; - 3; 0).

550. Найти проекцию на плоскость z = 0 сечения шаровой поверхности х2 + y2 + z2 = 4·(x - 2у - 2z) плоскостью, проходящей через центр шара и перпендикулярной к прямой х = 0, y + z = 0.

551. В левой системе координат построить поверхности: 1) z = 4 - х2; 2) у2 + z2 = 4z; 3) у2 = х3.

552. Построить в первом октанте левой системы координат кривую пересечения цилиндров х2 + z2 = а2 и х2 + у2 = а2.
Указание. Построив в плоскостях хОz и xОу четверти направляющих окружностей, разделить их приближенно на равные части (например, на 4) и через точки деления провести образующие цилиндров до их пересечения.

553. Написать уравнение цилиндрической поверхности с образующей, параллельной вектору Р{1; 1; 1}, и с направляющей х2 + у2 = 4х, z = 0. (видео)

554. Построить тело, ограниченное поверхностями у2 = х, z = 0, z = 4, х = 4, и написать уравнения диагоналей грани, лежащей в плоскости х = 4.