К разделу
Главная страница раздела 1
Главная страница раздела 2
Предметный указатель
Ответы

§ 6. Канонические поверхности и поверхности вращения

         1°. Конические поверхности. Пусть коническая поверхность имеет вершину в начале координат, а направляющую F(x, у)=0 на плоскости z = h. Уравнение образующей будет: , где (x0; y0; h) – точка направляющей. Определив отсюда x0 и y0 и подставив их в уравнение F(x, у) = 0, получим уравнение конической поверхности с вершиной в начале координат:
. (1)
Если вершина конуса будет в точке (а; b; с), то уравнение примет вид:
. (2)
Уравнение (1) однородно относительно x, у, z, а уравнение (2) однородно относительно х - а, у - b и z - с. По однородности уравнения можно узнать уравнение конической поверхности.
   2°. Поверхности вращения:
Уравнения кривой Ось вращения Уравнение поверхности вращения
F (x, y) = 0, z = 0 Ox
Oy
F (x, y) = 0, y = 0 Ox
Oz
F (y, z) = 0, x = 0 Oy
Oz
555. Написать уравнение конической поверхности с вершиной в начале координат и направляющей x2 + y2 = a2, z = c. Построить изображение поверхности. (видео)

556. Написать уравнение конической поверхности с вершиной в точке A(0; - а; 0) и направляющей x2 = 2py, z = h. Построить изображение поверхности. (видео)

557. Определить вершину конуса х2 + (у - а)2 - z2 = 0, его направляющую в плоскости z = а и построить конус.

558. Определить вершину конуса x2 = 2yz его направляющую в плоскости z = h и построить конус.

559. Исследовать поверхность конодоида или клина (a2 - x2) y2 = h2 z2 по сечениям плоскостями z = 0, y = h, x = ± c (c ≤ a) и построить коноид в области z ≥ 0.

560. Написать уравнение поверхности, образованной вращением кривой z = x2, y = 0: 1) вокруг оси Oz. Построить обе поверхности. (видео)

561. Написать уравнение поверхности, образованной вращением вокруг оси Oz: 1) кривой y = e- x2, y = 0; 2) кривой . Построить обе поверхности (в левой системе координат).

562. Написать уравнение конической поверхности с вершиной О (0; 0; 0), направляющей x2 + (y - 6)2 + z2 = 25 и нарисовать поверхность.

563. Написать уравнение конической поверхности с вершиной C(0; - a; 0) направляющей x2 + y2 + z2 = 25, y = 3 и нарисовать поверхность.

564. Написать уравнение поверхности, образованной вращением прямой z = y, x = 0: 1) вокруг оси Oy; 2) вокруг Oz и нарисовать обе поверхности.

565. Показать, что сечение конуса z2 = xy плоскостью x + y = 2a есть эллипс, и найти его полуоси.