К разделу
Главная страница раздела 1
Главная страница раздела 2
Предметный указатель
Ответы

§ 7. Эллипсоид, гиперболоиды и параболоиды

1°. Канонические уравнения. Кроме цилиндрических, существуют шесть основных видов поверхностей второго порядка, определяемых следующими каноническими (простейшими) уравнениями:
  1. Эллипсоид:
  2. Гиперболоиды:
  3. Конус второго порядка:
  4. Параболоиды (при pq > 0):
2°. Прямолинейные образующие. Через каждую точку однополостного гиперболоида проходят две его прямолинейные образующие:
и
Через каждую точку гиперболического параболоида тоже проходят две его прямолинейные образующие (при p > 0 и q > 0)
и
3°. Круговые сечения. На всех поверхностях, имеющих эллиптические сечения, имеются также и круговые сечения. Наибольшие круговые сечения эллипсоида (при a > b > c) находятся на сфере x2 + y2 + z2 = b2. Круговые сечения эллиптического параболоида , проходящие через вершину, находятся на сфере x2 + y2 + z2 = 2pz (при p > q).

566. Написать уравнение поверхности, образованной вращением эллипса , у = 0 вокруг си Oz.

567. Построить поверхность и найти площади ее сечений плоскостями: 1) z = 3; 2) у = 1. (видео)

568. Написать уравнение поверхности, образованной вращением кривой , у = 0: 1) вокруг оси Oz; 2) вокруг оси Ox. Построить обе поверхности (в левой системе координат).

569. Построить поверхности: 1) x2 + y2 - z2 = 4 ; 2) x2 - y2 + z2 + 4 = 0.

570. Построить гиперболоид и найти его образующие, проходящие через точку (4; 1; - 3).

571. Нитяная модель цилиндра "закручена" поворотом верхнего круга на α° (рис. 22). Определить уравнение полученной "линейчатой" поверхности, если окружности ее оснований лежат в плоскостях z = ± c, их центры - на оси Oz, а их радиусы равны 2а. Рассмотреть частные случаи при α = 90°, 120°, 180°.
Указание. Точка M (x; y; z) делит расстояние между точками: A (2a cos t; 2a sin t; - c), B [2a cos (t + α); 2a sin (t + α); c] в отношении AM : MB = (c + z) : (c - z).

572. Написать уравнение поверхности, образованной вращением параболы az = x2 , y = 0 вокруг оси Oz. Построить поверхность по сечениям плоскостями: z = a, x = 0, y = 0.

573. Построить поверхности: 1) ; 2) .

574. Построить (в левой системе координат) поверхность x2 - y2 = 4 z и найти ее образующие, проходящие через точку (3; 1; 2).

575. Написать уравнение геометрического места точек, отношение расстояний от каждой из которых до плоскости x = 2a к расстояниям до точки F (а; 0; 0) равно . Построить поверхность.

576. Написать уравнение геометрического места точек, отношение расстояний от каждой из которых до точки F (0; 0; 2а) и до плоскости z = a равно . Построить поверхность.

577. Написать уравнение геометрического места точек, одинаково удаленных от точки F (- а; 0; 0) и от плоскости x = a. Построить поверхность.

578. Найти наибольшие круговые сечения эллипсоида .

579. Определить круговые сечения эллиптического параболоида , проходящие через начало координат.
580. Назвать и построить каждую из поверхностей:
1)x2 + y2 + z2 = 2 a z6)x2= 2 a z
2)x2 + y2 = 2 a z7)x2= 2 y z
3)x2 + z2 = 2 a z8)z = 2 + x2 + y2
4)x2 - y2 = 2 a z9)(z - a)2 = x y
5x2 - y2 = z210(z - 2 x)2 + 4 (z - 2 x) = y2
581. Написать уравнение прямолинейных образующих гиперболоида x2 - y2 + z2 = 4, проходящих через точку (2; 4; 4).

582. Написать уравнение геометрического места точек, одинаково удаленных от точки F (0; 0; a/2 ) и от плоскости z = - a/2. Построить поверхность.

583. Написать уравнение геометрического места точек, одинаково уделенных от точки F (0; 0; a/2 ) и от плоскости z = 3a/2. Построить поверхность.

584. Найти наименьшие круговые сечения гиперболоида .

585. Написать уравнение прямолинейных образующих гиперболического параболоида , проходящих через точку (4; 3; 0).