К разделу
Главная страница раздела 1
Главная страница раздела 2
Предметный указатель
Ответы

§ 3. Комплексные числа

   1°.Определения. Комплексным числом называется выражение вида x + y·i, в котором х и у - вещественные числа, а i – некоторый символ, если при этом приняты условия:
1) x + 0·i = х, 0 + y·i = y·i и 1·i = i, (− 1)·i = − i,
2) x + y·i = x1 + y1·i тогда и только тогда, когда х = х1, у = у1,
3) (x1 + y1·i) + (x2 + y2·i) = (х1 + х2) + (y1 + y2)·i,
4) (x1 + y1·i) · (x2 + y2·i) = (х1·x2 - y1·y2) + (х1·y2 + y1·x2)·i.
   Из условий 1) и 4) получаются степени числа i:
i2 = − 1, i3 = − i, i4 = 1, и т.д. (1)
Комплексное число x + y·i, в котором x = 0, у ≠ 0, называется мнимым числом. Символ i называется мнимой единицей.

   2°.Действия над комплексными числами. Сложение, вычитание, умножение и возведение в степень комплексных чисел можно выполнять по правилам этих действий над многочленами с заменой степеней числа i по формулам (1). Деление комплексных чисел и извлечение корня из комплексного числа определяются как действия обратные.

   3.Тригонометрическая форма комплексного числа. Комплексное число x + y·i определяется парой вещественных чисел (х, у) и поэтому изображается точкой М(х, у) плоскости или её радиус-вектором называется модулем комплексного числа, а угол его φ с осью Ох называется аргументом комплексного числа.

Так как

x = r cos φ, y = r sin φ
то
x + y·i = r·( cos φ + i sin φ)(2)

4°. Действие над комплексными числами в тригонометрической форме:
(3)
(4)
[r·( cos φ + i sin φ)]n = rn (cos n φ + i sin n φ)(5)
(6)
где k = 0, 2 , 3, …. Формулы (5) и (6) называются формулами Муавра.
   5.Формула Эйлера: ei φ = cos φ + i sin φ.
   6.Логарифм комплексного числа: ln z = ln r + i·φ0 + 2 k π i , где φ0 - значение аргумента φ, удовлетворяющее неравенствам − π ≤ φ ≤ + π. Выражение ln r + i·φ0 называется главным значением логарифма.
630. Выполнить действие:
1)(2 + 3 i)·(3 − 2 i) 2)(a + b i)·(a - b i)3)(3 − 2 i)2
4)(1 + i)35)6)
631. Решить уравнение:
1)x2 + 25 = 0;2)x2 − 2 x + 5 = 0;3)x2 + 4 x + 13 = 0;
и проверить подстановкой корней в уравнении.

   Следующие комплексные числа изобразить векторами, определить их модули и аргументы и записать в тригонометрической форме.
632.   1) z = 3; 2) z = - 2; 3) z = 3i; 4) z = − 2i;
633. 1) 2) 3)
634. 1) 2) sin α + i·(1 − cos α).

635. Числа, данные в задачах 632 - 634, записать в форме r·ei φ (при - π < φ ≤ π).

636. Построить область точек z по условиям: 1) | z | < 3; 2) | z | < 2 и π/2 < φ < π; 3) 2 < | z | < 4 и - π < φ < - π /2.

637. Показать, что | z1 - z2 | есть расстояние между точками z1 и z2.

638. Дана точка z0 = - 2 + 3 i. Построить область точек z, для которых | z - z0 | < 1.

639. Число, сопряжённое с z, обозначается через Доказать, что

640. Вычислить по формуле Муавра: 1) (1 + i)10; 2) ; 3) (− 1 + i)5; 4) ; 5) .

641. Выразить sin3φ и cos3φ через функции угла α, используя тождество (cos α + i sin α)3 = cos 3α + i sin 3α.

642. Найти все значения и изобразить их радиус-векторами, построив круг радиуса, равного 1.

643. Найти: 1) 2) 3) 4)

644. Найти: 1) 2) 3)

645. Решить двучленные уравнения: 1) х3 + 8 = 0; 2) х4 + 4 = 0.

646. Найти главное значение логарифма: 1) ln (− 2); 2) ln (1 + i); 3) ln i; 4) ln (x + y i); 5) ln (2 − 2 i).

647. Найти сумму sin x + sin 2x + sin 3x + … + sin nx.
Указание. По формуле Эйлера заменить и т. д.

648. Найти сумму cos x + cos 2x + cos 3x + … + cos nx.
649. Доказать тождество

650. Вычислить: 1) 2) (a + b i)3 + (a - b i)3.

Следующие комплексные числа изобразить векторами, определить их модули и аргументы и записать в тригонометрической форме и в форме x + y·i = r·( cos φ + i sin φ) (при - π < φ ≤ π):
651. 1) z = 4 + 4i; 2) ; 3) z = 1 − i.
652. 1) z = 5; 2) z = − i; 3)

653. Построить область точек z по условиям 1 < | z | < 3 и π/4 < φ < 3π/4.

654. Дана точка z0 = 3 − 4i. Построить область точек z, для которых | z - z0 | < 5.

655. Вычислить по формуле Муавра:

1)(1 − i)6 2)3)

656. Выразить sin 4α и cos 4α через функции угла α, используя тождество ( cos φ + i sin φ)4 =cos 4φ + i sin 4φ.

657. Найти все значения корней: 1) и 2) и изобразить их радиусами-векторами.

658. Решить уравнения: 1) x3 − 8 = 0; 2) x6 + 64 = 0; 3) x4 − 81 = 0.

659. Найти сумму cos x + cos 3x + cos 5x + … + cos (2n − 1)x (см. задачу 647).