К разделу
Главная страница раздела 1
Главная страница раздела 2
Предметный указатель
Ответы

§ 4. Уравнения высших степеней и приближённое решение уравнений

   1°Кубическое уравнение:
x3 + a x2 + b x + c = 0.(1)
Если x1, x2, x3 корни уравнения, то уравнение можно записать в виде (x - x1)·(x - x2)·(x - x3) = 0. Отсюда a = - (x1 + x2 + x3), b = x1·x2 + x1·x3 + x2·x3, c = - x1·x2·x3.
   Уравнение x3 + a x2 + b x + c = 0 приводится к виду z3 + p z + q = 0 подстановкой Уравнение z3 + p z + q = 0 решается по формуле Кардано:
  1. Если то z1 = u1 + v1, где u1 и v1 – вещественные значения корней u и v.
  2. Если то
  3. Если то где
   2° Отделение вещественного корня уравнения f (x) = 0. Между а и b содержится единственный корень уравнения f (x) = 0, если f (a) и f (b) имеет разные знаки, а f (x) непрерывна на отрезке [a, b] и внутри него имеет производную f '(x) ≠ 0. Будем считать ещё, что на этом отрезке f ″(x) ≠ 0.

   3° Способ хорд приближённого решения уравнения f (x) = 0. Пусть α 0 – тот из концов отрезка [a, b], отделяющего корень, на котором f (α 0)·f ″ (α 0) < 0. Тогда приближением к корню х будет точка α 1 пересечения с Ох хорды АВ (рис. 23):

где .

   4° Способ касательных (способ Ньютона). Пусть β 0 – тот из концов отрезка [a, b], на котором
f (β 0)·f ″ (β 0) > 0. Тогда приближением к корню х будет точка β 1 пересечения с Ох касательной к кривой y = f (x) в точке [β 0, f (β 0)] (рис. 23):
где k 1 = f '(β 0).
   Применяя повторно способ хорд и касательных, можно составить таблицу
αβf (α)f (β)kk 1Δ αΔ β
……………………
где k и k 1 – наклоны хорд и касательных, а
и
Последовательность получаемых в таблице (2) значений α и β сходятся к искомому корню.
   5°. Способ итераций. Если уравнение f(x) = 0 можно привести к виду х = φ(х), причем в некоторой окрестности корня | φ ′(х) | < θ ≤ 1 и х0 – любое число в этой окрестности, то сходящаяся последовательность приближенных решений будет
х1 = φ(х0), х2 = φ (х1), х3 = φ(х2),… .
   В уравнениях 660, 661 среди целых множителей свободного члена подобрать один корень , разделить левую часть на х - х1 и затем найти остальные корни.
660. 1) х3 - 4х2 + х + 6 = 0; 2) х3 - 4х2 - 4х - 5 = 0. Решение проверить составлением выражений:
х1 + х2 + х3, х1х2 + х2х3 + х1х3, х1х2х3.

661. 1) х3 - 5х2 - 2х + 24 = 0; 2) х4 + х3 + 2х - 4 = 0; 3) 3x3 + 18x ² - x - 2 = 0; 4) 4х3 - 4х2 + х - 1 = 0.

Решить по формуле Кардано следующие уравнения:
662. 1) z3 - 6z - 9 = 0; 2) z3 - 12z - 16 = 0.
663. 1) z3 - 12z - 8 = 0; 2) z3 + 6z - 7 = 0.
664. 1) х3 + 9х2 + 18х + 9 = 0.

665. Дано уравнение f (x) = x4 - x - 10 = 0. Составить таблицу знаков f (x) при х = 0, 1, 2, …, определить границу положительного корня и вычислить его с точностью до 0,001 по способу хорд и касательных.

666. Построить график функций . Определить графически границы корней уравнения х3 - 6х + 3 = 0 и вычислить корни с точностью до единицы третьего знака.

667. По способу итераций (последовательных приближений) найти вещественные корни уравнений:
1) х3 + 60х - 80 = 0; 2) 2х = 4х; 3) х3 + l2х + l3 = 0; 4) x4 - 2x - 2 = 0.

668. Подбором одного корня среди целых множителей свободного члена решить уравнения:
1) х3 + 8х2 + 15х + 18 = 0; 2) х3 - 3х2 + 4 = 0. Для проверки составить выражения Σ x i , Σ x ix j и х1х2х3

669. По формуле Кардано решить уравнения: 1) z3 + 18z - 19 = 0; 2) z3 - 6z - 4 = 0; 3) z3 - 3z + 2 = 0; 4) х3 + 6х2 + 9х + 4 = 0.

670. Построить график функции , определить границы корней уравнения x4 + 3x - 15 = 0 и вычислить корни с точностью до 0,001.

671. Найти с точностью до 0,001 положительные корни уравнений: 1) х3 + 50х - 60 = 0; 2) х3 + х - 32 = 0.

672. По способу итераций найти вещественный корень уравнения х3 + 2х - 8 = 0 вычисляя последовательные приближения по формуле .