К разделу
Главная страница раздела 1
Главная страница раздела 2
Предметный указатель
Ответы

§ 1. Переменные величины и функции

   1°. Отрезки и интервалы. Множества чисел х, удовлетворяющих неравенствам а < x < b, называется интервалом и обозначается (а, b). Множество чисел х, удовлетворяющих неравенствам a ≤ x ≤ b, называется отрезком и обозначается [a, b].
   Эквивалентные неравенства (при а > 0) x2 < a2, или | х | < a, или - а < x < a определяют интервал, симметричный относительно нуля.

2°. Переменные величины и функции. Если каждому значению переменной x поставлено в соответствие одно число, то переменная y, определяемая совокупностью этих чисел, называется однозначной функцией x. Переменная x называется при этом аргументом, а данная совокупность значений аргумента – областью определения функции.
   То, что у есть функция х, символически записывается в виде у = f(x), или у = F(x), или у = φ (x) и т. п. Символ f(x) или у = F(x) и т. п. обозначает закон соответствия переменных х и у, в частности, он может означать совокупность действий или операций, которые нужно выполнить над х, чтобы получить соответствующее значение у.

673. Построить области изменения переменной х, удовлетворяющей неравенствам:
1) х < 4; 2) х2 ≤ 9; 3) | х - 4 | < 1; 4) - 1 < x - 3 ≤ 2; 5) x2 > 9; 6) (x - 2)2 ≤ 4.

674. Записать неравенствами и построить интервалы изменения переменных: [- 1, 3]; (0, 4); [- 2, 1].

675. Определить область изменения переменной , где t принимает любое значение ≥ 1.

В задачах 676-678 построить по точкам на отрезке | х | < 3 графики указанных функций.
676. 1) у = 2x; 2) у = 2х + 2; 3) у = 2х - 2.
677. 1) у = x2; 2) у = x2 + 1; 3) у = x2 - 1.
678. 1) ; 2) ; 3) .

679. Построить графики функций: 1) ; 2) у = 2х; 3) у = log2x. Какую особенность в расположении этих кривых относительно осей координат можно заметить?

680. Построить на одном чертеже графики функций: 1) y = sin x; 2) y = cos x по точкам, в которых у имеет наибольшее, наименьшее и нулевое значение. Сложением ординат этих кривых построить на этом же чертеже график функции y = sin x + cos x.

681. Найти корни х1 и х2 функции у = 4х - х2 и построить ее график на отрезке [x1 - 1, x2 + 1].

682. Построить графики функций: 1) у = | х |; 2) у = - | х - 2 |; 3) у = | х | - х;

В задачах 683 - 686 найти области определения вещественных значений функций и построить их графики.
683. 1) ; 2) ; 3) .

684. 1) ; 2) .

685. 1) ; 2) .

686. 1) ; 2) .

687. 1) f(x) = x2 - x + 1; вычислить f(0), f(1), f(-1) f(2), f(a + 1); 2) ; вычислить φ(0), φ(-1),

688. F(х) = х2; вычислить: 1) 2) .

689. f(x) = x2, φ(x) = x3; вычислить .

690. F (x, y) = x3 - 3xy - y2; вычислить F(4, 3) и F(3, 4).

691 Функция f (х) называется четной, если f (- х) = f (х); нечетной, если f (- х) = f (х). Указать, какие из следующих функций четные и какие нечетные: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) f 1 (x) = x + x2.

692. Середина любой хорды графика некоторой функции f (x) лежит выше графика этой функции. Записать это свойство функции неравенством. Проверить, что этим свойством обладает функция f (x) = x2.

693. Какая из элементарных функций обладает свойствами f (1) = 0, f (а) = 1, f (xy) = f (x) + f(y) ?

694. Какая из элементарных функций обладает свойствами f (0) = 1, f (1) = a, f (x + y) = f (x)f(y)?

695. Построить области изменения переменной х, удовлетворяющей неравенствам: 1) х < 3; 2) х2 ≤ 4; 3) | х - 2 | < 2; 4) (x - 1)2 ≤ 4.

696. Определить область изменения переменной , где t принимает любое значение ≥ 1.

697. Построить графики функций: 1) на отрезке | х | ≤ 2; 2) между точками пересечения с осью абсцисс.

698. Построить графики функций: 1) у = х - 4 + | х - 2 | на отрезке [-2, 5]; 2) у = 1 - cos х на отрезке | х | ≤ 2π.

699. Построить графики функций: 1) ; 2) у = 2 -х.

700. Найти область определения вещественных значений функций: 1) ; 2) ;
3) ; 4) и построить их графики.

701. 1) Для функции 1) вычислить f (0), f (- 2), f(- ½), f (х - 1), f (½);
2) Для функции φ (x) = x 3 вычислить ;
3) Для функции f (x) = 4x - x 3 вычислить f (a + 1) - f (a - 1).