К разделу
Главная страница раздела 1
Главная страница раздела 2
Предметный указатель
Ответы

§ 2. Пределы последовательности и функции. Бесконечно малые и бесконечно большие

   1°. Числовая последовательность. Пусть каждому натуральному числу n = 1, 2, 3, … по некоторому закону поставлено в соответствие число xn. Тогда говорят, что этим определена последовательность чисел x1, x2, x3, … или, короче, последовательность { xn } = { x1, x2, x3, … }. Отдельные числа последовательности { xn } называются ее элементами. Говорят еще, что переменная xn пробегает значения последовательности {xn}.

   2°. Предел последовательности (предел переменной). Число а называется пределом последовательности { xn }, или пределом переменной xn (обозначается xn → а ), если для всякого ε > 0 найдется зависящее от ε число n0, такое, что | xn - а | < ε для всех натуральных чисел n > n0. Интервал (а - ε, а + ε) называется ε - окрестностью числа а ( или точки а). Таким образом xn → а обозначает, что для всякого ε > 0 найдется такое число n0 , что для всех n > n0 числа xn будут находиться в ε - окрестности числа а.

3°. Предел функции. Пусть функция f (x) определена в некоторойε окрестности числа а, за исключением быть может самой точки а. Говорят, что число b является пределом функции f (x) при x → а (пишут f (x) → а или ), если для любого ε > 0 существует зависящее от ε число δ > 0 такое, что | f (x) - b | < ε при 0 < | x - а | < δ. Аналогично, , если для всякого ε > 0 существует зависящее от ε число N такое, что | f (x) - b | < ε при x > N. Употребляется также запись , которая обозначает, что для всякого числа А > 0 существует зависящее от А число δ такое, что | f (x) | > А при 0 < | x - а | < δ.
   Если x → а и при этом x < a , то пишут x → а - 0, аналогично, если x → а и при этом x > a , то пишут x → а + 0. Числа f (а - 0) = и f (а + 0)= называются соответственно пределом слева функции f (x) в точке а и пределом справа функции f (x) в точке а. Для существования предела функции f(x) при х → а необходимо и достаточно, чтобы было f (а - 0) = f (а + 0). Вместо x → 0 - 0 и x → 0 + 0 пишут x → - 0 и x → +0 соответственно.

   4°. Бесконечно малые. Если , т т.е. если | α (x) | < ε при 0 < | x - а | < δ (ε) то функция α (x) называется бесконечно малой при x → a. Аналогично определяется бесконечно малая α (x) при x → ∞.

   5°. Бесконечно большие. Если для любого, сколь угодно большого числа N существует такое δ (N), что при
0 < | x - а | < δ (N) выполняется равенство | f (x) | > N, то функция f (x) называется бесконечно большой при x → a. Аналогично определяется бесконечно большая f (х) при х → ∞.

702. Пологая n = 0, 1, 2, 3, …, написать последовательность значений переменных:
Начиная с какого N модуль каждой переменной сделается и будет оставаться меньше 0,0001, меньше данного положительного ε ?

703. Написать последовательность значений переменной . Начиная с какого n модуль разницы х - 1 сделается и будет оставаться меньше 0,001, меньше данного положительного ε?

704. Прибавляя к 3 (или вычитая из 3) сначала 1, затем 0,1, потом 0,01 и т.д. записать "десятичными" последовательностями приближения переменной к пределу: xn → 3 - 0 , xn → 3 + 0.

705. Записывая "десятичными" последовательностями приближения переменных к пределам: xn → 5 - 0, xn → 5 + 0, xn → -2 - 0, xn → -2 + 0, xn → 1 - 0, xn → 1 + 0, xn → 1,2 - 0, xn → 1,2 + 0.

706. Доказать, что . Пояснить таблицами значений х и х2.

707. Доказать, что . По данному числу ε > 0 найти наибольшее число δ > 0 такое, чтобы при любом х из
δ - окрестности числа 3 значение функции у = 2х - 1 оказалось в ε - окрестности числа 5. Пояснить графически.

708. Доказать, что . Из какой наибольшей δ - окрестности числа - 1 нужно взять значение х, чтобы значение функции у = 3 - 2х - х2 отличалось от ее предела меньше, чем ε =0,0001?

709. Доказать, что sin α есть бесконечно малая при α → 0.
   Указание: построить чертеж и показать, что | sin α | < | α |.

710. Доказать, что .
   Указание: положив х = a + α, составить разность sin x - sin α и затем положить α → 0.

711. Доказать, что . Пояснить таблицами значений х и при х = 1, 10, 100, 1000, ….

712. Доказать, что . При каких х значения функции будут отличаться от своего предела меньше чем на 0,001?

713. Доказать, что . При каких х значения функции будут отличаться от своего предела меньше чем на 0,01?

714. Доказать, что , составив разности ; ; ; …; .

715. Написать последовательности:

1);2);3) ;
4) ;5) ;6).
Существует ли в каждом примере и чему он равен?


716. Найти и и пояснить таблицами.

717. Найти и и пояснить таблицами.

718. Выяснить точный смысл "условных" записей:
1),2),3)3∞ = ∞,
4)3- ∞ = 0,5)lg 0 = - ∞,6)tg 90° = ± ∞.
719. Показать, что не существует, составив последовательности значений sinx:
1)при x = n· π;2)при ;3)при (n = 0, 1, 2, 3, 4, …).
720. Показать, что не существует.

721. Показать, что при любом способе приближения х к 0.

722. В круг радиуса R вписан правильный многоугольник с числом сторон n м стороной an. Описав около круга квадрат, показать, что an < ε, как только n > 8R/ε, т.е. a n → 0, когда n → ∞.

723. Пусть rn - апофема правильного, вписанного в круг n-угольника. Доказать, что , где R - радиус круга.

724. Вершина В треугольника АВС перемещается по прямой ВЕ ∥ АС, неограниченно удаляясь вправо. Как будут при этом изменяться стороны треугольника, его площадь, внутренние углы и внешний угол BCD?
725. Написать "десятичные" последовательности приближений переменных к пределам: xn → 4 - 0; xn → - 1,5 + 0; xn →1,5 - 0.

726. Доказать, что1) ; 2) .

727. Доказать, что , показав, что разность есть бесконечно малая при х бесконечно большом. Пояснить таблицей, полагая х = 1, 10, 100, 1000, ….

728. Доказать, что . (см. задачу 709).
729. Написать последовательности значений переменных:

1),2),3),4).
Какая из последовательностей имеет предел при n → ∞?

730. Найти: 1), 2), 3), 4), 5), 6), 7).
731. Доказать, что , составив разности ; ; …; .

732. Пусть α n - внутренний угол правильного n - угольника. Доказать, что .

733. На продолжении отрезка АВ = а справа взята точка М на расстоянии ВМ = х. Найти .