§ 7. Сравнение бесконечно малых
- Если
, то β называется бесконечно малой высшего порядка относительно α.
- Если
, (конечен и отличен от 0), то β называется бесконечно малой n-го порядка относительно α.
- Если
, то β и α называются эквивалентными бесконечно малыми. Эквивалентность записывается так:
α ≈ β.
а) Разность двух эквивалентных бесконечно малых есть бесконечно малая высшего порядка относительно каждой из них.
б) Если из суммы нескольких бесконечно малых разных порядков отбросить бесконечно малые высших порядков, то оставшаяся часть, называемая главной, эквивалентна всей сумме.
Из первого свойства следует, что эквивалентные бесконечно малые могут сделаться приближенно равными со сколь угодно малой относительной погрешностью. Поэтому знак ≈ мы применяем как для обозначения эквивалентности бесконечно малых, так и для записи приближенного равенства их достаточно малых значений.
805. Определить порядки бесконечно малых: 1)1 - cos x; 2) tg x - sin x относительно бесконечно малой x.
Показать на чертеже, что при уменьшении угла х вдвое величина 1 - cos x уменьшается приблизительно в четыре раза, а величина tg x - sin x приблизительно в восемь раз.
; 3) 
относительно бесконечно малой х.
807. Определить порядок малости "стрелы" кругового сегмента относительно бесконечно малой дуги сегмента.
808.Доказать, что при x → 0: 1) sin mx ≈ mx; 2) tg mx ≈ mx; 3)
.
809. Коэффициент объемного расширения тела принимается приближенно равным утроенному коэффициенту линейного расширения. На эквивалентности каких бесконечно малых это основано?
810. По теореме
, если α ≈ α1, β ≈ β1 и один из пределов существует, найти пределы:
| 1) |  | 2) |  | 3) |  |
811. Капля воды испаряется так, что ее радиус стремится к 0. Определить порядки бесконечно малых поверхности и объема капли относительно ее радиуса.
812. Определить порядки бесконечно малых: 1) 
; 2) sin 2х - 2 sin х;
3) 
относительно бесконечно малой х.
; 3) 
.