К разделу
Главная страница раздела 1
Главная страница раздела 2
Предметный указатель
Ответы

§ 10. Производная неявной функции

   Если уравнение F(x, y) = 0, неразрешенное относительно у, определяет у как однозначную функцию х, то у называется неявной функцией х. Чтобы найти производную y ' этой неявной функции, нужно обе части уравнения F(x, y) = 0 продифференцировать по х, рассматривая у как функцию от х. Из полученного уравнения найдем искомую производную y '. Чтобы найти y ″, нужно уравнение F(x, y) = 0 дважды продифференцировать по х и т.д.
   Найти y ′ из уравнений:
1044. 1)x ² + y ² = a ²;2)y ² = 2px;3).1045. 1)x ² + xy + y ² = 6;2)x ² + y ² - xy = 0.
1046. 1);2)e y - e - x + xy = 0.1047.e x·sin y - e - y·cos x = 0.1048.x = y + arctg y.
1049. e xy - x ² + y ³ = 0; при х = 0.

1050. Найти y ″ из уравнений: 1) x ² + y ² = а ²; 2) ax + by - xy = c; 3) x m·y n = 1.

1051. ; найти y ″ в точке (0; b).

1052. Написать уравнения касательных к кривой x ² + y ² + 4x - 2y - 3 = 0 в точках пересечения ее с осью Оу.

1053. Найти точки пересечения нормали гиперболы x ² - y ² = 9, проведенной из точки (5; 4), с асимптотами.

1054. Написать уравнение касательной в точке (x0 ; y0) к кривой: 1) ; 2) y ² = 2px.

1055. Написать уравнения касательных к астроиде в точках пересечения ее с прямой у = х.

1056. Под каким углом пересекаются кривые x ² + y ² = 5 и y ² = 4x.

1057. Найти из уравнений: 1) ; 2) x ³ + y ³ - 3axy = 0.

1058. Найти y ″ из уравнений: 1) x ² - y ² = а ²; 2) (x - α) ² + (y - β) ² = R ²; 3) arctg y = x + y; 4) x ² + xy + y ² = a ².

1059. Написать уравнения касательных к окружности x ² + y ² + 4x - 4y + 3 = 0 в точках пересечения ее с осью Ох. Построить окружность и касательные.

1060. Написать уравнение касательной к эллипсу x ² + 4y ² = 16 в точке, в которой делится пополам отрезок касательной, отсечённый осями координат, и которая лежит в первой четверти.

1061.;найти при t = 0.
1062. t·ln x - x· ln t = 1: найти при t = 1.

1063. x ² ·sin y-cos y + cos 2y=0; найти y' при y = π ∕ 2.