К разделу
Главная страница раздела 1
Главная страница раздела 2
Предметный указатель
Ответы

§ 11. Дифференциал функции

   Если функция y = f (x) дифференцируема в точке x, т.е. имеет в этой точке конечную производную y',то где α → 0 при Δ х → 0; отсюда
.(1)
Главная часть y'·Δх приращения Δ у функции, линейная относительно Δ х, называется дифференциалом функции и обозначается dy:
d y = y'·Δх.(2)
Положив в формуле (2) y = x, получим dx = x'· Δх = 1·Δх = Δх, и поэтому
d y = y'·dх.(3)
   Формула (3) верна и в том случае, если x есть функция новой переменной t.
   Из (1) следует, что Δ y ≈ dy, т.е. при достаточно малом dx = Δ x приращение функции приближенно равно её дифференциалу. В частности, для линейной функции y = a·x + b имеем: Δу = dy.
Найти дифференциалы функций:
1064. 1)y = xn;2)y = x ³ -3x ² + 3x.1065. 1)2).
1066. 1)r = 2 φ - sin 2 φ2).1067. 1)d (sin ² t);2)d (1 - cos u).
1068. 1)2)d (α + ln α);3)4).
1069.Нахождением дифференциала каждого члена уравнения найти из уравнений: 1) x ² + y ² = a ²; 2) xy = a ²; 3) x ² - xy - y ² = 0.

1070.1) y = x ²; найти приближённо изменение y (Δy ≈ dy), когда x изменяется от 2 до 2,01; 2) ; найти приближённо изменение y, когда x изменяется от 100 до 101.

1071.1) Сторона куба x = 5 м ± 0,01 м. Определить абсолютную и относительную погрешность при вычислении объёма куба.
2)Длина телеграфного провода где 2b - расстояние между точками подвеса, а f - наибольший прогиб. На сколько увеличится прогиб f, когда провод от нагревания увеличится на d s?

1072.1) С какой точностью нужно измерить абсциссу кривой при x ≤ 1, чтобы при вычислении её ординаты допустить погрешность не больше 0,1?
2) С какой относительной точностью нужно измерить радиус шара, чтобы при вычислении объёма шара допустить погрешность не более 1%?

1073. Определить приближено: 1) площадь кругового кольца; 2) объём сферической оболочки. Сравнить с их точными значениями.
Найти дифференциалы функций:
1074. 1) 2) r = cos (a - bφ); 3) .

1075.1) y = ln cos x; 2) 3) s = e- 2t.

1076.1) ; 2) d (tg α - α); 3) d (bt - e - bt).

1077. 1) y = x3 определить Δ y и dy и вычислить их при изменении x от 2 до 1,98.
2) Период колебания маятника где l- длина маятника в сантиметрах. Как нужно изменить длину маятника l = 20см, чтобы период колебания уменьшился на 0,1 с?
3) С какой точностью нужно измерить абсциссу кривой xy = 4 при x ≥ 0,5 чтобы при вычислении её ординаты допустить погрешность не более 0,1?