К разделу
Главная страница раздела 1
Главная страница раздела 2
Предметный указатель
Ответы

§ 3. Касательная и нормаль к плоской кривой

Угловой коэффициент касательной к кривой у = f (x) в точке кривой (х0; у0) равен значению производной функции f (x) в точке х0:
(1)
Это число k называют иногда наклоном кривой в точке (х0; у0). Уравнение касательной в точке М(х0; у0) на кривой (рис. 26):
(2)
Уравнение нормали:
(3)
где k определяется формулой (1). Отрезки ТА = у0· ctg φ, АN=у0 ·tg φ (рис. 26) называются соответственно подкасательной и поднормалью, а длины отрезков МТ и МN - длинами касательной и нормали.

905. Найти наклоны параболы у = х2 в точках х = ± 2.

906. Написать уравнение касательной и нормали к параболе у = 4 - х2 в точке пересечения ее с осью Ох (при х > 0) и построить параболу, касательную и нормаль.
В задачах 907 - 910 написать уравнения касательных к кривым и построить кривые и касательные:

907. К кривой в точке х = - 1.

908. К кривой y2 = x3 в точках х1 = 0 и х2 = 1.

909. К локону в точке х = 2.

910. К синусоиде y = sin x в точке х = π.

911. Под каким углом кривая y = sin x пересекает ось Ох?

912. Под каким углом пересекаются кривые 2 y = x2 и 2 y = 8 - x2?

913. Найти длину подкасательной, поднормали, касательной и нормали кривой: 1) y = x2; 2) y2 = x3.

914. Доказать, что подкасательная параболы y2 = 2 p x равна удвоенной абсциссе точки касания, а поднормаль равна р.

915. В уравнении параболы у = х2 + b х + с определить b и c, если парабола касается прямой у = х в точке х = 2.

916. Написать уравнение касательных к гиперболе х у = 4 в точках х1 = 1 и х2 = - 4 и найти угол между касательными. Поострить кривую и касательные.

В задачах 917 - 919 написать уравнения касательных к кривым и построить кривые и касательные к ним:

917. y = 4 x - x2 в точках пересечения с осью Ох.

918. y2 = 4 - x в точках пересечения с осью Оу.

919. y2 = (4 + x)3 в точках пересечения с осями Ох и Оу.

920. Найти расстояние вершины параболы y = x2 - 4 x + 5 от касательной к ней в точке пересечения параболы с осью Оу.

921. Под каким углом прямая у = 0,5 пересекает кривую у = cos x?

922. В какой точке касательная к параболе y = x2 + 4 x параллельна оси Ох?

923. В какой точке параболы y = x2 - 2 x + 5 нужно провести касательную, чтобы она была перпендикулярна к биссектрисе первого координатного угла?

924. Найти длину подкасательной, поднормали, касательной и нормали кривой в точке х = 1.

925. Какие углы образует парабола с ее хордой, абсциссы концов которой равны 2 и 4?