В.П. Минорский. Сборник задач по высшей математике

Главная страница раздела 1

Главная страница раздела 2

Предметный указатель

Ответы

Для доступа к меню нажмите правую кнопку мыши

§ 9. Производные высших порядков

Пусть мы нашли для функции y = f (x) ее производную y ′ = f ′ (x) . Производная от этой производной называется производной второго порядка функции f (x) и обозначается или y ″ или f ″ (x) или

. Аналогично определяются и обозначаются

производная третьего порядка ;
производная четвертого порядка и вообще;
производная n-го порядка .

1021. Найти производную второго порядка функции: 1) y = sin ²x; 2) y = tg x; 3)

1022. Найти производную третьего порядка функции: 1) y = cos ²x; 2) ;3) y = x ·sin x.

1023. Найти производную третьего порядка функции: 1) y = x· ln x; 2) s = t· e^-t; 3)

1024. ; найти .

Найти производную n-го порядка функции:
1025. 1) e^-x/a; 2) ln x; 3)

1026. 1) x ⁿ; 2) sin x; 3) cos ²x.

1027. Последовательным дифференцированием вывести формулы Лейбница:

(u v) '' =u'' + 2 u'v' + v'';
(u v) ''' = u'''v + 3 u''v' + 3 u'v'' + uv''';
(u v) ⁽⁴⁾ = u⁽⁴⁾v + 4 u'''v' + 6 u''v'' + 3 u'v''' + uv⁽⁴⁾ и т.д..

1028. По формуле Лейбница найти производную второго порядка функции: 1) y = e^x·cos x; 2) y = a^x·x ³;
3) y = x²· sin x.

1029. По формуле Лейбница найти производную третьего порядка функции: 1) y = e^{- x}·sin x ;2) y = x²· ln x;
3) y = x· cos x.

1030. f (x) = x e^x/a; найти f ′″ (x), f ⁽ⁿ⁾ (x), f ⁽ⁿ⁾ (0).

1031. f (x) = (1 + x) ^m; найти f (0); f ^′ (0); f ^″ (0); f ^′″ (0), … , f ⁽ⁿ⁾ (0).

1032.

; показать, что при n ≥ 2

1033. ; показать, что
Указание. Применить тождество .

1034. Продифференцировав тождество (x - 1)·(x² + x³ + … + xⁿ) = xⁿ⁺¹ - x² три раза по х и положив затем х = 1, найти сумму

и затем сумму квадратов чисел натурального ряда

1035. Найти производную второго порядка функции: 1) y = e ^{- x ²}; 2) y = ctg x; 3)

1036. Найти производную n-го порядка функции: 1) y = a ^x; 2) ; 3) y = sin ² x.

1037.

; найти f (2), f ′ (2) и f ″ (2).

1038. По формуле Лейбница найти производную третьего порядка функции: 1) y = x ³·e^x; 2) ;
3) y = x f '(a - x) + 3 f (a - x).

1039. Показать, что функция y = e^x·cos x удовлетворяет дифференциальному уравнению y ⁽⁴⁾ + 4·y = 0.

1040. Показать, что функция y = x e^-1/x удовлетворяет уравнению x ³·y ″ - x·y ′ + y = 0.

1041. f (x) = x² e^-x/a; показать, что

1042. f (x) = e^{- x ²}; показать, что f ⁽ⁿ⁾ (0) = - 2 (n - 1) f^(n-2) (0), f ^{(2n - 1)} (0) = 0, f ⁽²ⁿ⁾ (0) = (- 2)ⁿ (2 n - 3)···5·3·1.

1043. f (x) = x ⁿ показать, что