К разделу
Главная страница раздела 1
Главная страница раздела 2
Предметный указатель
Ответы

§ 2. Теоремы о среднем

1°.Теорема Роляя. Если f(x):
1) непрерывна на отрезке [a, b],
2) имеет производную внутри него,
3) f (a ) = f (b ),
то между a и b найдётся такое x = c, при котором
f ' (c ) = 0.(1)
2°.Теорема Лагранжа. Если f(x):
1) непрерывна на отрезке [a, b],
2) имеет производную внутри него,
то между a и b найдётся такое x = c, при котором
f (b ) - f (a ) = (b - a )·f '(c ).(2)
3°.Теорема Коши. Если f(x) и φ (x ):
1) непрерывны на отрезке [a, b],
2) имеют производные внутри него, причем φ ' (x ) ≠ 0,
то между a и b найдётся такое x = c, при котором
.(3)
Эти теоремы носят название теорем о среднем потому, что в них говорится о некотором значении х = с, среднем между а и b.
   Геометрически теоремы Ролля и Лагранжа утверждают, что на дуге АВ непрерывной кривой у = f (х ), имеющей в каждой точке определенную касательную и не имеющей точек возврата, найдется внутренняя точка, касательная в которой параллельна хорде АВ.
   На дугах, содержащих угловые точки или точки возврата, условия теорем о среднем, очевидно, не выполнены.
   Теорему Ролля в частном случае при f (b ) = f (a ) = 0 формулируют так: между двумя корнями а и b функции f (x ) найдется по крайней мере один корень ее производной f ' (x ), если f(х ) непрерывна на отрезке [а, b] и имеет производную внутри него.

1101. Проверить, что между корнями функции f (x ) = x ² - 4x - 3 находится корень ее производной. Пояснить графически.

1102. Применима ли теорема Ролля к функции на отрезке [ - 1, 1]? Пояснить графически.

1103. Построить дугу AB кривой y = | sin x | на отрезке [ - π/2, π/2]. Почему на дуге нет касательной, параллельной хорде AB? Какое из условий теоремы Ролля здесь не выполнено?

1104. В какой точке касательная к параболе у = х ² параллельна хорде, стягивающей точки А (- 1; 1) и В (3; 9)? Пояснить графически.

1105. Написать формулу Лагранжа для функции f (x ) = x ² на отрезке [а, b] и найти с. Пояснить графически.

1106. Написать формулу Лагранжа для функции на отрезке [1, 4] и найти с.

1107. Показать, что на отрезке [ -1, 2] теорема Лагранжа неприменима к функциям и . Пояснить графически.

1108. Построить АВ кривой y = | cos x | на отрезке [0, 2π/3]. Почему на дуге нет касательной, параллельной хорде АВ? Какое из условий теоремы Лагранжа здесь не выполнено?

1109. Пусть . Построить график этой функции и, взяв на нем точки O(0; 0) и В (2; 1), показать, что между О и В на этом графике нет точки, касательная в которой была бы параллельна 0В. Какие условия теоремы Лагранжа для этой функции на отрезке [0, 2] выполнены и какие нет?

1110. Поезд прошел расстояние между станциями со средней скоростью v0 = 40 км/ч. Теорема Лагранжа утверждает, что был момент движения, в который истинная (а не средняя) скорость движения была равна 40 км/ч. Показать это.

1111. Дано, что f (x ) непрерывна на отрезке [а, b] и имеет производную в каждой точке внутри него. Применив теорему Ролля к функции

получить теорему Лагранжа. Выяснить геометрическое значение функции Ф(х).

1112. Написать формулу Коши для функций f (x ) = x ³ и φ(х ) = х ² и найти с.

1113. Геометрически теорема Коши утверждает, что на дуге кривой x = φ(t ), y = f(t ) для значений t на отрезке а ≤ t ≤ b найдется внутренняя точка, в которой касательная параллельна хорде, если функции φ(t ) и f(t ) на отрезке [а, b] удовлетворяют условиям теоремы Коши. Доказать это.

1114. Написать формулу Лагранжа в виде f (x + Δx) - f (x ) = Δx·f '(x + θ·Δx), где 0 < θ < 1, для функций: 1) f (x ) = x ², 2) f (x ) = x ³, и показать, что для первой функции θ не зависит от х, а для второй зависит от х и Δх.

1115. Показать, что .

1116. С помощью формулы Коши доказать, что если f(0) = f '(0) = f ″(0) =...= f (n-1)(0) = 0, то
где 0 < θ < 1.
1117. Написать формулу Лагранжа f (b ) - f (a ) = (b - a )·f '(c ) для функции f (x ) = x ³ и найти с.

1118. Написать формулу Лагранжа и найти с для функций: 1) f (x) = arctg x на отрезке [0, 1]; 2) f(x) = arcsin x на отрезке [0, 1]; 3) f(x)=ln x на отрезке [0, 1].

1119. Написать формулу Коши и найти с для функций: 1) sin x и cos x на отрезке [0; π/2]; 2) x ² и на отрезке [1, 4].

1120. Построить график функции y = |x - 1| на отрезке [0, 3]. Почему здесь нельзя провести касательную, параллельную хорде? Какое из условий теоремы Лагранжа здесь не выполнено?

1121. В какой точке касательная к кривой y = 4 - x ² параллельна хорде, стягивающей точки А(-2; 0) и В(1; 3)? Пояснить графически.