В.П. Минорский. Сборник задач по высшей математике

Главная страница раздела 1

Главная страница раздела 2

Предметный указатель

Ответы

Для доступа к меню нажмите правую кнопку мыши

§ 4. Возрастание и убыаание функции. Максимум и минимум

1°. Определения.

Функция f(x) называется возрастающей в точке х₀, eсли в некоторой ε - окрестности этой точки f ( x₀ - h) < f ( x₀) < f ( x₀ + h) при любом положительном h < ε.
Функция f ( x ) называется возрастающей на отрезке [а, b], если для любых х ₁ и х ₂ на этом отрезке
f ( x ₁ ) < f (x ₂), когда x₁ < x ₂.
Аналогично определяется убывание функции в точке и на отрезке.
Функция f (х) называется имеющей экстремум (максимум ила минимум) в точке x₀, если f (x₀) является наибольшим или наименьшим значением функции в некоторой двусторонней окрестности этой точки.

2°. Достаточные признаки, возрастания и убывания функции у = f (х) (в точке и на отрезке):

если у ′ > 0, то функция возрастает;
если у ′ < 0, то функция убывает.

3°. Необходимое условие экстремума. Функция у = f (x) может иметь экстремум только в точках, где у ′ = 0 или не существует. Такие точки называются критическими. В них касательная или горизонтальна (у ′ =0), или вертикальна (в точке возврата), или нет определенной касательной (например, в угловой точке). В двух последних случаях у ′ не существует.
4°. Достаточные условия экстремума. Если функция f (x) непрерывна в точке х₀ и имеет в некоторой окрестности х₀, кроме, быть может, точки х₀, конечную производную и если при переходе х через х₀:

у ′ меняет знак с + на -, то f (x₀) = у_max,
у ′ меняет знак с - на +, то f( х₀) = у_min,
у ′ не меняет знака, то экстремума нет.

Третий случай имеет место в обыкновенной точке (при у ′ > 0 или у ′ < 0), а также в точке перегиба и в угловой точке.
Итак, чтобы найти экстремум функции, нужно: 1) Найти у ′ и критические точки, в которых у ′= 0 или не существует.
2) Определить знак у ′ слева и справа от каждой критической точки, составив таблицу, например, вида

Далее можно найти у _max и у _min и построить кривую. На рис. 28 построена кривая, соответствующая приведенной выше таблице.

5°. Достаточные условия экстремума (второй способ исследования). Если в некоторой точке х = х₀:
1) y′ = 0, а y ″ < 0, то f (x₀) = y_max.
2) y ′ = 0, a y ″ > 0, то f (х₀) = y_min;
3) y ′ = 0, a y ″ = 0, то вопрос остается нерешенным и нужно обратиться к первому способу исследования.

Исследовать возрастание и убывание функций:

1158.

1159.

1) y = tg x; 2) y = e^x; 3) y = 4 x - x²

Найти экстремум функции и построить ее график:

1160.	y = x² + 4 x + 5	1161.		1162.	1163.
1164.		1165.		1166.	1167.
1168.		1169.	y = x² (1 - x)	1170.	1171.

1172.

у = х + cos 2x в интервале (0, π).

1173.

y = 4x - tg x в интервале

1174.		1175.	y = x - arctg 2x	1176.		1177.
1178.	y sin⁴x + cos⁴x	1179.		1180.		1181.
1182.		1183.		1184.		1185.	y = x ³·(x + 2 )².
1186.		1187.		1188.	y = 2·tg x - tg² x.	1189.	y = x + ln (cos x).

1190.

;

2) y = | x |·(x + 2).

1191.

y = x²·e^{- x}.

1192.

1193.	y = 4x - x².	1194.	y = x² + 2x - 3.	1195.		1196.	y = x³ + 6x² + 9x.
1197.		1198.		1199.		1200.
1201.		1202.	y = x·e^{- x²/2}.	1203.	y = x - 2·ln x.	1204.	y = x^2/3·(x - 5).

1205.

y = sin 2x в интервале (- π/2; π/2).

1206.

y = 2x + ctg x в интервале (0; π).

1207.

y = x + arcctg 2x.

1208.

1209.

y = 2·sin x + cos 2x в интервале (0; π).

1210.	y = 3·x⁴ - 8x³ + 6x².	1211.		1212.	1213.
1214.	1) y = ae^{- x}cos x при x > 0;	2)	y = 3x⁵ - 5x³.	1215.	1216.
1217.		1218.	y = (1 - x²)·(1 - x³).	1219.	1220.

1221.