§ 5. Задачи о наибольших и наименьших значениях величин
1223. Разложить число 10 на два слагаемых так, чтобы произведение их было наибольшим.
1224. В треугольник с основанием а и высотой h вписан прямоугольник наибольшей площади. Определить площадь прямоугольника.1225. Из квадратного листа картона со стороной а вырезаются по углам одинаковые квадраты и из оставшейся части склеивается прямоугольная коробка. Какова должна быть сторона вырезаемого квадрата, чтобы объем коробки был наибольшим?
1226. Определить размеры открытого бассейна с квадратным дном объемом 32 м³ так, чтобы на обдицовку его стен и дна пошло наименьшее количество материала.1227. Боковые стороны и меньшее основание трапеции равны 10 см. Определить ее большее основание так, чтобы площадь трапеции была наибольшей.
1228. В полукруг вписана трапеция, основание которой есть диаметр полукруга. Определить угол трапеции при основании так, чтобы площадь трапеции была наибольшей.1229. Сечение тоннеля имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Периметр сечения 18 м. При каком радиусе полукруга площадь сечения будет наибольшей?
1230. Вблизи завода А проводится по намеченной прямой к городу В железная дорога. Под каким углом α к проектируемой железной дороге нужно провести шоссе с завода А, чтобы доставка грузов из А в В была наиболее дешевой, если стоимость 1 тонно-километра при перевозке по шоссе в n раз дороже, чем по железной дороге?1231. Два источника света расположены в 30 м друг от друга. На прямой, соединяющей их, найти наименее освещенную точку, если силы света источников относятся, как 27 :8.
1232. Два самолета летят в одной плоскости и прямолинейно под углом 120° с одинаковой скоростью v км/ч. В некоторый момент один самолет прилетел в точку пересечения линий движения, а второй не долетел до нее на а км. Через какое время расстояние между самолетами будет наименьшим и чему равно это расстояние?1233. Балка прямоугольного сечения со свободно опертыми концами равномерно нагружена по всей длине. Стрела ее прогиба обратно пропорциональна моменту инерции сечения балки 
, где х и у – размеры балки. Определить размеры балки при наименьшей стреле прогиба, если балка вырезана из круглого бревна с диаметром D.
1235. Два коридора шириной 2,4 м и 1,6 м пересекаются под прямым углом. Определить наибольшую длину лестницы, которую можно перенести (горизонтально) из одного коридора в другой.
1236. В конус с радиусом 4 дм и высотой 6 дм вписан цилиндр наибольшего объема. Найти этот объем.
1237. В полукруг радиуса R вписан прямоугольник наибольшей площади. Определить его размеры.
1238. На параболе у = х² найти точку, наименее удаленную от прямой у = 2х - 4.1239. Картина повешена на стене. Нижний ее конец на b см, а верхний на а см выше глаза наблюдателя. На каком расстоянии от стены должен встать наблюдатель, чтобы рассмотреть картину под наибольшим углом?
1240. Общая длина стен изображенного на плане дома (рис. 29) должна быть равна 90 м. При какой ширине х коридора площадь трех остальных комнат будет наибольшей?1241. В прямоугольный треугольник с гипотенузой 8 см и углом 60° вписан прямоугольник, основание которого расположено на гипотенузе. Каковы должны быть размеры прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?
1242. Даны точки A(0; 3) и В (4; 5). На оси Ох найти точку М так, чтобы расстояние S = АМ + МВ было наименьшим.1243. Сопротивление балки продольному сжатию пропорционально площади поперечного сечения. Определить размеры балки, вырезанной из круглого бревна диаметром D, так, чтобы сопротивление её сжатию было наибольшим.
1244. Из круга вырезается сектор, содержащий угол α, а затем сектор свертывается в конус. При каком значении α объём конуса будет наибольшим?1245. Груз весом Р, лежащий на горизонтальной плоскости, нужно сдвинуть приложенной к нему силой F (рис. 30). Под каким углом α к горизонту нужно направить силу F, чтобы она была наименьшей. Коэффициент трения μ = 0,25.
 |  |