К разделу
Главная страница раздела 1
Главная страница раздела 2
Предметный указатель
Ответы

§ 6. Направление выпуклости и точки перегиба кривой. Построение кривых

1°. Выпуклость. Кривая называется выпуклой "вверх" ("вниз") в точке х = х0, если в некоторой окрестности этой точки (слева и справа) кривая расположена "ниже" ("выше") касательной в этой точке. Если в точке х = x0:
1) y ″ > 0, то кривая выпукла "вниз";
2) y ″ < 0, то кривая выпукла "вверх".
2°. Точкой перегиба называется точка, в которой кривая переходит с одной стороны касательной на другую (и, следовательно, меняет направление выпуклости).
Необходимым условием точки перегиба является то, что в ней у ″ = 0 или не существует, а достаточным - то, что у ″ при этом меняет знак.
3°. Для построения кривой рекомендуется определить: 1) симметрию; 2) область расположения; 3) точки пересечения с осями Ох и Оу; 4) точки разрыва функции у = φ(x) пли х = f(у) и асимптоты; 5) возрастание или убывание у или х и экстремальные точки; 6) направление выпуклости и точки перегиба.

1246. Исследовать направление выпуклости и построить кривые: 1) y = x²; 2) y = x ³; 3) y = e x; 4) y = ln x; 5) y = x5/3.

1247. Определить экстремальные точки и точки перегиба кривых и построить кривые: 1) 2) y = e - x²; 3) 4) y = 21/x.

Применяя некоторые из правил п. 3°, построить кривые, заданные в задачах 1248 - 1262 уравнениями:

1248.y = 2x + 9.1249.y = - x² - 4x.
Указание: В задаче 1248 определить симметрию, область расположения и точки пересечения с осями, а в задаче 1249 - точку экстремума и точки пересечения с Ox.

1250.y = sin x, y = cos x.1251.y = sh x, y = ch x.
Указание: В задачах 1250, 1251 определить точки экстремума и перегиба.
1252.y = ln (x + 2).1253.y = e - x.
Указание: В задачах 1252, 1253 определить область расположения, точки пересечения с осями, асимптоту и направление выпуклости.
1254. 1)y² = x³;2)y² = (x + 3)³.1255. 1)2)
1256. 1)2)y = e·x·e- x.1257. 1)2)
1258. 1)y = x - ln x;2)1259. 1)2)
1260. 1)y² = 2x² - x4;2)x·(y - x)² = 4.1261.1262.y² = x·e- x.