В.П. Минорский. Сборник задач по высшей математике

Главная страница раздела 1

Главная страница раздела 2

Предметный указатель

Ответы

Для доступа к меню нажмите правую кнопку мыши

§ 1. Вычисление определенного интеграла
(видео), (видео), (видео), (видео), (видео), (видео), (видео), (видео), (видео)

Пусть на отрезке [a, b] определена функция f (x). Разобьем отрезок [a, b] на n частей точками а = x₀ < x₁ < x₂ < … < x_n = b. Из каждого интервала (х_i-1, x_i) возьмем произвольную точку ξ _i и составим сумму , где Δ x _i = x_i - x_{i- 1}. Сумма вида называется интегральной суммой, а ее предел при max Δ x_i → 0, если он существует и конечен, называется определенным интегралом от функции f (x) в пределах от а до b и обозначается:

, Функция f(x) в этом случае называется интегрируемой на отрезке [a, b]. Для интегрируемости достаточно, чтобы на отрезке [a, b] функция была непрерывна или же имела конечное число конечных разрывов. Пусть f(x) непрерывна на [a, b]. Тогда на этом отрезке существует неопределенный интеграл ∫ f(x) dx = F(x) + C и имеет место формула

, т.е. определенный интеграл от непрерывной функции равен разности значений первообразной функции (или неопределенного интеграла) при верхнем и нижнем пределах. Эта Формула называется формулой Ньютона - Лейбница.
1591. Составлением интегральных сумм и переходом к пределу найти интегралы:

Указание. При решении второго и четвертого примеров воспользоваться результатами задач 1034 и 647.

1592. Вычислить "нижнюю" и "верхнюю" интегральные суммы s₅ и S₅ для интеграла , разбив отрезок [1, 2] на пять равных частей. Сравнить с точным значение интеграла.
Указание. , где m_i - наименьшее, а М_i - наибольшее значение подынтегральной функции в i-м частичном промежутке.