К разделу
Главная страница раздела 1
Главная страница раздела 2
Предметный указатель
Ответы

§ 10. Гипербола

Г и п е р б о л о й называется геометрическое место точек, разность расстояний от каждой из которых до двух данных точек F и F 1 (фокусов) есть постоянная величина 2a (0 < 2a < FF1).
Каноническое (простейшее) уравнение гиперболы
(1)
Гипербола, заданная уравнением (1), симметрична относительно осей координат (рис. 2). Она пересекает ось Ох в точках А(а; 0) и А1 (- а; 0) – вершинах гиперболы и не пересекает ось Оу. Параметр а называется вещественной полуосью, b – мнимой полуосью. Параметр есть расстояние от фокуса до центра. Отношение называется эксцентриситетом гиперболы. Прямые называются асимптотами гиперболы. Расстояния от точки М(х; у) гиперболы до её фокусов (фокальные радиус-векторы) определяются формулами
r = | ε x - a |, r1 =| ε x + a |. (2)
Гипербола, у которой a = b называется равносторонней, её уравнение x2 - y2 = a2 , а уравнения асимптот y = ± x. Гиперболы и называются сопряжёнными.

187. Построить гиперболу x2 - 4y2 = 16  и её асимптоты. Найти фокусы, эксцентриситет и угол между асимптотами. (видео)

188. На гиперболе x2 - 4y2 = 16  взята точка М с ординатой, равной 1. Найти расстояние от неё до фокусов. (видео)

189. Написать каноническое уравнение гиперболы, зная, что: 1) расстояние между фокусами 2ш = 10, а между вершинами 2а = 8, 2) вещественная полуось а эксцентриситет

190. Гипербола симметрична относительно осей координат, проходит через точку и имеет мнимую полуось b = 2 Написать её уравнение и найти расстояния от точки М до фокусов.

191. Написать уравнение гиперболы, имеющей вершины в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса

192. Написать уравнение гиперболы, имеющей эксцентриситет проходящей через точку и симметричной относительно осей координат.

193. Построить гиперболу y2 = a2 + x2 найти координаты её фокусов и угол между асимптотами.

194. Написать уравнения касательных к гиперболе x2 - 4y2 = 16  проведённых из точки А(0; -2).

195. Найти расстояние от фокуса гиперболы до её асимптот и угол между асимптотами.

196. Найти сторону квадрата, вписанного в гиперболу и исследовать, в какие гиперболы можно вписать квадрат.

197. Найти эксцентриситет гиперболы, асимптота которой составляет с вещественной осью угол: 1) 60° 2) α.

198. Определить область расположения кривой Построить кривую.

199. Определить траекторию точки М(х; у), которая при своём движении остаётся вдвое ближе к прямой x = 1, чем к точке F(4; 0).

200. Даны точки А(-1; 0) и В(2; 0). Точка М движется так, что в ΔDАМВ угол В остаётся вдвое больше угла А. Определить траекторию движения.

201. Дана точка А(а; 0). По оси Оу движется точка В. На прямой ВЕ, параллельной Ох, откладываются отрезки ВМ и BM1, равные АВ. Определить геометрическое место точек М и M1.

202. Даны прямые x = ± b и х = ± а (b < a) Произвольный луч ОА (рис. 3) пересекает прямую x = b (или x = - b) в точке В и прямую x = a (или x = - a) в точке А. Радиусом ОА описана дуга, пересекающая Ох в точке С. Из точек В и С проведены прямые, параллельные соответственно Ох и Оу, до пересечения в точке М. Определить геометрическое место точек М.
203. Написать каноническое уравнение гиперболы, зная, что расстояние от одной из его вершин до фокусов равны 9 и 1.

204. Найти точку пересечения асимптот гиперболы x 2 - 3y 2 = 12 с окружностью, имеющей центр в правом фокусе гиперболы и проходящей через начало координат.

205. Гипербола проходит через точку , симметрична относительно осей координат и имеет вещественную полуось а = 4. Написать уравнения перпендикуляров, опущенных из левого фокуса гиперболы на её ассимптоты.

206. На гиперболе 9х 2 - 16у 2 = 144 найти точку, расстояние от которой до левого фокуса вдвое меньше, чем до правого.

207. На гиперболе х 2 - у 2 = 4 найти точку, фокальные радиусы - векторы которой перпендикулярны (см. указание к задаче 184).

208. Точка М делит расстояние между фокусами гиперболы 9х 2 - 16у 2 = 144 в отношении F1M∶MF = 2 ∶ 3, где F1 – левый фокус гиперболы. Через точку М проведена прямая под углом 135° к оси Ох. Найти точки пересечения этой прямой с асимптотами гиперболы.

209. Определить траекторию точки М, которая движется так, что остаётся вдвое дальше от точки F ( - 8; 0), чем от прямой х = - 2.

210. ДАны точки А (- а; 0) и В (2а; 0). Точка М движется так, что угол МАВ остаётся втрое меньше внешнего угла АМС треугольника АМВ. Определить траекторию движения точки М.