К разделу
Главная страница раздела 1
Главная страница раздела 2
Предметный указатель
Ответы

§ 12. Директрисы, диаметры и касательные к кривым второго порядка

1°.Директрисами эллипса (при а > b) и гиперболы называются параллельные оси Оу и отстоящие от неё на расстояние а/ε, где ε – экстресистент кривой.
    Уравнение директрис:
(1)
   Свойство директрисс: отношение расстояний от точки кривой до фокуса и до соответствующей директрисы равно эксцентресистету кривой
(2)
2°.  Диаметром кривой второго порядка называется геометрическое место середин параллельных хорд. Диаметрами эллипса и гиперболы оказываются отрезки и лучи прямых, проходящих через центр, а диаметрами параболы – лучи, параллельные её оси.
   Уравнение диаметра, делящего пополам хорды с наклоном tg α = k, будет
для кривых :
для параболы y 2 = 2px;
Для диаметра эллипса и гиперболы, из которых каждый делит пополам хорды, параллельные другому, называются взаимно сопряжёнными. Их угловые коэффициенты k и k1 связаны зависимостью
(у эллипса) и (у гиперболы).
3°. Уравнение касательной:
к эллипсу ;
к гиперболе ;
к параболе (y 2 = 2px) y·y0 = p·(x + x0), где (х 0; у 0) – точка касания.

231. Построить эллипс , его дирректрисы и найти расстояния от точки эллипса с абсциссой х = - 3 до правого фокуса и правой дирректриссы.

232. Построить гиперболу , её дирректрисы и найти расстояния от точки гиперболы с абсциссой х = 5 до левого фокуса и левой директрисы.

233. Написать каноническое уравнение эллипса, директриссами которого служат прямые и большая полуось которого равна 2.

234. Написать уравнение гиперболы, асимптоты которой у = ± х, а директрисы .

235. Построить эллипс х 2 + 4у 2 = 16, диаметр и сопряжённый ему диаметр и найти длины а 1 и b 1 построенных полудиаметров.

236. Построить параболу х 2 - 4у 2 = 4, диаметр у = - х и сопряжённый ему диаметр и найти угол между диаметрами.

237. Найти длинц того диаметра эллипса , который равен своему сопряжённому диаметру.

238. Асимптота гиперболы составляет с осью Ох угол 60°. Написать уравнение диаметра, сопряжённого с диаметром у = 2х. Выбрав произвольно отрезок а, построить кривую, диаметры и хорды, параллельные данному диаметру.

239. Определить геометрическое место середин хорд параболы у 2 = 4х, составляющих с осью Ох 45°.

240. Дан эллипс . Через точку (- 2; 1) провести хорду, делящуюся в этой точке пополам.

241. Дана парабола у 2 = - 4х. Через точку (- 2; - 1) провести хорду, делящуюся в этой точке пополам.

242. На примере задачи 235 проверить теорему Аполония: а12 + b12 = а 2 + b 2 и а1b1sin φ = ab, где а 1 и b 1 – длины сопряжённых полудиаметров, а и b – полуоси эллипса, а φ – угол между сопряжёнными диаметрами.

243. Написать уравнения касательных к кривыми: 1) х2 + 4у 2 = 16; 2) 3х 2 - у 2 = 3; 3) у 2 = 2х в точке с абсциссой
х 0 = 2.

244. Показать, что если прямая Ах + Ву + С = 0 есть касательная к эллипсу , то А2а2 + В2b2 = C2.
Указание. Из пропорциональности коэффициентов уравнений и Ах + Ву + С = 0 определить х0 и у0 и подставить их в уравнение .

245. Написать уравнения касательных к эллипсу х2 + 4у2 = 20, параллельных биссектрисе первого координатного угла.

246. Написать уравнения касательных к эллипсу х2 + 2у2 = 8, проведённых из точки (0; 6).

247. Написать уравнение касательной к эллипсу , отсекающей на осях координат равные положительные отрезки.

248. Показать, что если прямая Ах + Ву + С = 0 есть касательная к гиперболе , то А2а2 - В2b2 = C2 (см. указание к задаче 244).

249. Написать уравнения касательных к гиперболе 4х2 - 9у2 = 36, перпендикулярных прямой х + 2у = 0.

250. Доказать, что нормаль к эллипсу есть биссектриса угла между радиус – векторами соответствующей точки эллипса.

251. Доказать, что касательная к гиперболе есть биссектриса угла между радиус – векторами точки касания.

252. Доказать, что лучи, выходящие из фокуса параболы, отражаются от параболы по прямым, параллельным её оси.
Указание. Нужно написать уравнение нормали MN, найти точку N пересечения её с осью параболы и доказать, что FM = FN, где F – фокус параболы.
253. Найти точки пересечения асимптот гиперболы с её директрисами.

254. Построить эллипс х 2 + 4у 2 = 16, его диаметр у = х и сопряжённый ему диаметр и найти угол между этими диаметрами.

255. Определить геометрическое место середин хорд гиперболы х 2 - 4у 2 = 16, составляющих угол 45° с осью Ох.

256. Дана гипербола 4х 2 - у 2 = 4. Через точку (2; 2) провести хорду, делящуюся в этой точке пополам.

257. На эллипсе х 2 + 2у 2 = 6 взята точка М с ординатой 1 и отрицательной абсциссой. Найти угол касательной к эллипсу в точке М с прямой ОМ.

258. Показать, что если прямая Ах + Ву + С = 0 есть касательная к параболе у 2 = 2рх, то В 2р = 2АС (см. указание к задаче 244).

259. Написать уравнение касательной к параболе у 2 = 8х, параллельной прямой.