К разделу
Главная страница раздела 1
Главная страница раздела 2
Предметный указатель
Ответы

§ 2. Деление отрезка в данном отношении. Площадь треугольника и многоугольника

   1°. Деление отрезка в данном отношении. Даны точки A (x1; y1) и B( x2; y2). Координаты точки M(x; y), делющей отрезок AB в отношении AM : MB = λ, определяются по формулам:
(1)
В частности, при делении пополам, т. е. в отношении λ = 1:1 = 1,
(2)
   2°. Площадь многоугольника с вершинами A (x1; y1), B(x2; y2), C(x3; y3), …,F(xn; yn) равна
(2)
Выражение вида  равно x1·y2 – x2·y1 и называется определителем второго порядка.

22. Построить точки A(- 2; 1) и B(3; 6) и найти точку M(x; y), делящую AB в отношении AM : MB = 3 : 2.

23.Даны точки A (- 2; 1) и B (3; 6). Разделить отрезок AB в отношении AM : MB = - 3 : 2.

24. В точках A(x1) и B(x2) оси Ox помещены массы m1 и m2. Найти центр масс этой системы.

25. В точках А(x1), B(x2) и C (x3) оси Ox помещены соответственно массы m1, m2 и m3. Показать, что центр масс этой системы будет в точке .

26. На конце однородного стержня длиной 40 см. и массой 500 г. Насажаны шары массой 100 г. и 400 г. Определить центр масс этой системы.

27. В точках А(- 2; 4), В (3; - 1) и С(2; 3) помещены соответственно массы 60 г., 40 г., 100 г. Определить центр масс этой системы.

28. Определить середины сторон треугольника с вершинами А(2; - 1), В(4;3) и С(- 2; 1).

29. В треугольнике с вершинами О(0; 0), А(8; 0) и В(0; 6) определить длину медианы ОС и биссектрисы ОD.

30. Найти центр масс треугольника с вершинами А(1;- 1), В(6; 4) и С(2; 6).
Указание. Центр масс треугольника находится в точке пересечения его медианы.

31. Вычислить площадь треугольника с вершинами А(2; 0), В(5; 3) и С(2; 6).

32. Показать, что точки А(1; 1), В(- 1; 7) и С(0; 4) лежит на одной прямой.

33. Вычислить площадь четырехугольника с вершинами А(3; 1), В(4; 6), С(6; 3) и D(5;- 2).

34. В точках А (- 3; - 1) и В (4; 6) приложены параллельные силы, соответственно равные 30 H и 40H. На отрезке АВ найти точку приложения равнодействующей.

35. В точках О (0; 0), А(2;- 5) и В(4; 2) помещены соответственно массы 500 г., 200гр. и 100г. Определить центр массы этой системы.

36. В треугольнике с вершинами А(- 2; 0), В(6; 6) и С(1;- 4) определить длину биссектрисы АЕ.

37. Найти центр масс треугольника с вершинами A(x1; y1), B(x2; y2) и C(x3; y3).

38. Найти центр масс четырехугольной однородной доски с вершинами А(2; 1), В(3; 6), С(5; 2) и D(0;- 6).
Указание. По формулам, полученным в задаче 37, наитии центры масс ∆ АВС и ∆ АDC и разделить расстояние между ними в отношении, обратном отношению площадей треугольников.

39. Даны точки А(1; 2), В(4; 4). На оси Ох определить точку С так, чтобы площадь треугольника АВС была равна 5, и построить треугольник АВС.

40. В треугольнике с вершинами А(- 2; 2), В(1; - 4) и С(4; 5) каждая сторона продолжена в направлении обхода периметра против часовой стрелки на одну треть своей длины. Определить концы M, N и P продолжений сторон и найти отношение k площади треугольника MNP к площади треугольника АВС.