К разделу
Главная страница раздела 1
Главная страница раздела 2
Предметный указатель
Ответы

§ 5. Угол между прямыми. Уравнении пучка прямых, проходящих через данную точку. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Точка пересечения двух прямых

                                             1°. Угол φ, отсчитанный против часовой стрелки от прямой y = k1·x + b1 до прямой у = k 2·х + b2, определяется формулой
(1)
Для прямых, заданных уравнениями А1 х + В1 у + С1 = 0 и А2 х + В2 у + С2 = 0 формула (1) примет вид
.
   Условие параллельности: k1 = k2 или.
   Условие перпендикулярности: или A1 A2 + B1 B2 = 0 .
   2°.  Уравнение пучка прямых, проходящих через данную точку А(х1, у1):
y - y1 = k (x - x1) (2)
         3°.  Уравнение прямой, проходящей через две данные точки A (x1; y1) и В (x2; y2):
(3)
         4°.  Чтобы найти точку пересечения непараллельных прямых А1 х + В1 у + С1 = 0 и А2 х + В2 у + С2 = 0, нужно решить совместно их уравнения. Получим:
82. Определить угол между прямыми:

2)  5x - y + 7 = 0, 2x - 3y + 1 = 0,
3)  2x + y = 0, y = 3x - 4,

83. Среди прямых 3x - 2y + 7 = 0, 6x - 4y - 9 = 0, 6x + 4y - 5 = 0, 2x + 3y - 6 = 0 указать параллельные и перпендикулярные.

84. Написать уравнение пучка прямых, проходящих через точку А(2, 3). Выбрать из этого пучка прямые, составляющие с осью Ох углы: 1) 45°; 2) 60°; 3) 135°; 4) 0°, и построить их.

85. Построить точку А(- 2; 5) и прямую 2·x - y = 0. Написать уравнение пучка прямых, проходящих через А, и выбрать из пучка: 1) прямую, параллельную данной; 2) прямую, перпендикулярную к данной.

86. В точках пересечения прямой 2x - 5y - 10 = 0 с осями координат восстановлены перпендикуляры к этой прямой. Написать их уравнения.

87.Написать уравнение прямой, проходящей через точки А(- 1; 3) и В(4; - 2).

88. В треугольнике с вершинами А(- 2; 0), В(2; 6) и С(4; 2) проведены высота BD и медиана BE. Написать уравнения стороны АС, медианы ВЕ и высоты BD.

89. Найти внутренние углы треугольника, стороны которого заданы уравнениями x + 2 y = 0, x + 4 y - 6, x - 4 y - 6 = 0.
Указание. Чтобы найти внутренние углы треугольника, нужно угловые коэффициенты сторон выписать в порядке убывания: k1 > k2 > k3, затем вычислить тангенсы углов по формулам:

Убедиться в этом из чертежа, поместив одну из вершин в начале координат.

90. Написать уравнения прямых, проходящих через начало координат под углом 45° к прямой y = 4 - 2 x.

91. Написать уравнения прямых, проходящих через точку А(- 1; 1) под углом 45° к прямой 2 x + 3 y = 6.

92. Из точки А(5; 4) выходит луч света под углом φ = arctg 2 к оси Ох и от неё отражается. Написать уравнения падающего и отражённого лучей.

93. Определить вершины и углы треугольника, стороны которого заданы уравнениями x + 3 y = 0, x = 3, x - 2 y + 3 = 0.

94. Отрезок прямой 3x + 2y = 6, отсеченный осями координат, служит гипотенузой равнобедренного прямоугольного треугольника. Найти вершину прямого угла, если известно, что она лежит «выше» данной прямой.

95. Дан треугольник с вершинами А(- 2; 0), В(2; 4), и С(4; 0). Написать уравнения сторон треугольника, медианы АЕ, высоты А D и найти длину медианы АЕ.

96. Написать уравнения сторон и найти углы треугольника с вершинами А(0; 7), В(6; - 1), и С(2; 1).

97. Прямая 2 x - y + 8 = 0 пересекает оси Ох и Оу в точках А и В. Точка М делит АВ в отношении АМ : МВ=3 : 1. Написать уравнение перпендикуляра, восстановленного в точке М к прямой АВ.

98. Построить треугольник, стороны которого заданы уравнениями x + y = 4, 3 x - y = 0, x - 3y - 8 = 0 найти углы и площадь треугольника.

99. Найти точку пересечения медиан и точку пересечения высот треугольника, вершины которого А(- 4; 2), В(2; - 4) и С(5; 0).

100. Из точки А(- 5; 6) выходит луч света под углом φ = arctg (- 2) к оси Ох и отражается от оси Ох, а затем от оси Оу. Написать уравнения всех трёх лучей.