К разделу
Главная страница раздела 1
Главная страница раздела 2
Предметный указатель
Ответы

§ 6. Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой. Уравнение биссектрис. Уравнение пучка прямых, проходящих через точку пересечения двух данных прямых.

1°.  Нормальное уравнение прямой
x cos β + y sin β - p = 0 (1)
где р – длина перпендикуляра (нормали), опущенного из начала координат на прямую, а β - угол наклона этого перпендикуляра к оси Ох. Чтобы привести общее уравнение прямой Ax + By + C = 0 к нормальному виду, нужно все члены его умножить на нормирующий множитель  взятый со знаком, противоположным знаку свободного члена С.
2°. Расстояние d от точки (х0, у0) до прямой найдём, если в левую часть нормального уравнения прямой на место текущих координат подставим координаты (х0, у0) и полученное число возьмём по абсолютной величине:
d = | x0 cos β + y0 sin β - p |, (2)
или
(2')
3°.  Уравнение биссектрис углов между прямыми Ax + By + C = 0 и A1x + B1y + C1 = 0:
(3)
4°. Уравнение пучка прямых, проходящих через точку пересечения двух данных прямых:
α· ( A x + B y + C ) + β· (A1 x + B1 y + C1) = 0 (4)
Можно положить α = 1, исключив этим из пучка (4) вторую из данных прямых.

101.Привести к нормальному виду уравнения прямых: 1) 3·х - 4·у – 20 = 0; 2) х + у + 3 = 0; 3) у = k·x + b.

102. Построить прямую, если длина нормали р = 2, а угол β наклона её к оси Ох равен: 1) 45°; 2) 135°; 3) 225°; 4) 315°. Написать уравнения этих прямых.

103. Найти расстояние от точек А(4; 3), В(2; 1) и С(1; 0) до прямой 3x + 4y - 10 = 0. Построить точки и прямые.

104. Найти расстояние от начала координат до прямой 12x - 5y + 39 = 0.

105. Показать, что прямые 2x - 3y = 6 и 4x - 6y = 25 параллельны, и найти расстояние между ними.
Указание. На одной из прямых взять произвольную точку и найти расстояние от неё до другой прямой.

106. Найти k из условия, что прямая y = kx + 5 удалена от начала координат на расстояние

107. Написать уравнение геометрического места точек, удалённых от прямой 4x - 3y = 0 на расстояние d = 4.

108. Составить уравнение прямой, удалённой от точки А(4; - 2) на расстояние d = 4 и параллельной прямой
8x - 15y = 0.

109. Написать уравнение биссектрис углов между прямыми 2·х + 3·у = 10 и 3·х + 2·у = 10.

110. Написать уравнение биссектрис углов между прямыми 3·х + 4·у = 12 и у = 0.

111. Написать уравнение траектории точки М(х; у), которая при своём движении остаётся втрое дальше от прямой
y = 2x - 4, чем от прямой y = 4 - 2x.

112. Написать уравнение прямой, проходящей через точку М пересечения прямых 2x + y + 6 = 0 и 3x + 5y - 15 = 0 и через точку N(1; - 2) (не находя точки М).(видео)

113. Написать уравнение прямой, проходящей через точку М пересечения прямых 5x - y + 10 = 0 и 8x + 4y + 9 = 0 и параллельной прямой x + 3y = 0 (не находя точки М).(видео)

114. Найти длину высоты BD в треугольнике с вершинами А(- 3; 0), В(2; 5) и С(3; 2). (видео)

115. Написать уравнение прямой, проходящей через точку А(2; 4) и удаленной от начала координат на расстояние d = 2.

116. Проверить, что точки А(- 4; - 3), В(- 5; 0), С(5; 6) и D(1; 0) служат вершинами трапеции, и найти её высоту.

117. Через начало координат проведена прямая на одинаковом расстоянии от точек А(2; 2) и В(4; 0). Найти это расстояние.

118. Написать уравнение геометрического места точек, удалённых от прямой x + 2y - 5 = 0 на расстояние, равное

119. Написать уравнение траектории точки М(х; у), которая при своём движении остаётся вдвое дальше от прямой
y = x, чем от прямой у = - х.

120. Написать уравнение прямой, проходящей через точку М пересечения прямых 2x - 3y + 5 = 0 и 3x + y - 7 = 0 и перпендикулярной к прямой y = 2x (не находя точки М).