§ 9. ЭЛЛИПС
Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек
F и F 1 (фокусов) есть постоянная величина 2а, большая FF 1.Каноническое (простейшее) уравнение эллипса
 |
(1) |
Отношение
| r = a - ε·x, r1 = a + ε·x | (2) |
165. Построить эллипс x2 + 4y2 = 16 найти его фокусы и эксцентриситет. (видео)
166. Написать каноническое уравнение эллипса, зная, что: 1) расстояние между фокусами равно 8, а малая полуось b = 3; 2) большая полуось а = 6, ε = 0,5. (видео)
167. Найти малую полуось b и эксцентриситет ε эллипса, имеющего большую полуось а = 5 и параметр с, равный: 1) 4,8; 2) 4; 3) 3; 4)1,4; 5) 0. Построить каждый из эллипсов.
168. Земля движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. Наименьшее расстояние от Земли до Солнца равно приблизительно 147,5 миллиона километров, а наибольшее 152,5 миллиона километров. Найти больную полуось и эксцентриситет орбиты Земли.
169. Эллипс, симметричный относительно осей координат, проходит через точки М(2; 
) и В(0; 2). Написать его уравнение и найти расстояние от точки М до фокусов. (видео)
170. Эллипс, симметричный относительно осей координат, фокусы которого находятся на оси Ох, проходит через точку
и имеет эксцентриситет ε = ¾.
Написать уравнение эллипса и найти фокальные радиус-векторы точки М.
171. Найти длину хорды эллипса x2 + 2y2 = 18, делящий угол между осями пополам.
172. Найти эксцентриситет эллипса, если расстояние между фокусами равно расстоянию между концами большой и малой полуосей.
173. В эллипс x2 + 4y2 = 4 вписан правильный треугольник, одна из его вершин которого совпадает с концом большой полуоси. Определить координаты двух других вершин треугольника.
Указание. Написать уравнение одной из сторон, имеющей наклон k = tg 30°, и найти точки ее пересечения с эллипсом.
174. На эллипсе 9x2 + 25y2 = 225 найти точку, расстояние от которой до правого фокуса в четыре раза больше расстояния от неё до левого фокуса. (видео)
175. Ординаты всех точек окружности x2 + y2 = 36 сокращены втрое. Написать уравнение полученной новой кривой.
176. Определить траекторию точки М, которая при своём движении остаётся вдвое ближе к точке F(- 1; 0), чем к прямой х = - 4.
177. Отрезок АВ постоянной длины a + b движется так, что его конец А скользит по оси Ох, а конец В – по оси Оу. Определить траекторию движения точки М отрезка, делящей его на части BM = a и MA = b (эллиптический циркуль Леонардо да Винчи).
178. Даны окружности x2 + y2 =b2 и x2 + y2 =a2 ( b < a ). Произвольный луч ОВА пересекает их соответственно в точках В и А, из которых проведены прямые, параллельные осям координат, до пересечения их в точке М. Определить геометрическое место точек М.179. Написать простейшее уравнение эллипса, у которого расстояния от одного из фокусов до концов большой оси равны 5 и 1.
180. Эллипс, симметричный относительно осей координат, проходит через точки 
и А(6; 0). Написать его уравнение, найти эксцентриситет и расстояния от точки М до фокусов.
181. Найти длину хорды эллипса направленной по
диагонали прямоугольника, построенной на осях эллипса.
182. Найти общие точки эллипса x2 + 4y2 = 4 и окружности, проходящей через фокусы эллипса и имеющей центр в его «верхней» вершине.
183. На прямой х = - 5 найти точку, одинаково удалённую от «левого» фокуса и от «верхней» вершины эллипса x2 + 5y2 = 20.
184. На эллипсе x2 + 5y2 = 20 найти точку, радиус-векторы которой перпендикулярны.
Указание. Искомые точки суть точки пересечения с эллипсом окружности, проходящей через фокусы эллипса и имеющей центр в начале координат.
185. Абсциссы точек окружности x2 + y2 = 4 увеличены вдвое. Определить полученную кривую.
186. Определить траекторию точки М, которая при своём движении остаётся втрое ближе к точке А(1; 0), чем к прямой х = 9.