ЛЕКЦИЯ 1 На главную страницу 2-й части
  1. Введение
  2. Изображения и оригиналы
  3. Свойства преобразования Лапласа
  4. Доказательство свойств преобразования Лапласа
  5. Примеры определения изображений
  6. Обращение изображений

Введение

Операционное исчисление представляет собой метод, позволяющий свести операции дифференцирования и интегрирования функций к более простым действиям — умножению и делению на аргумент так называемых ''изображений'' этих функций. Использование операционного исчисления облегчает решение многих задач, в частности — задачи интегрирования линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и систем таких уравнений. Эти уравнения сводятся к линейным алгебраическим уравнениям.

Изображения и оригиналы

Изображением по Лапласу функции f(t) называется функция, зависящая от комплексной переменной p = r + i s и определяемая формулой
. (1)
Для сходимости несобственного интеграла (1) достаточно предположить, что в промежутке [0, + ∞) функция f (t) является кусочно-непрерывной и при некоторых постоянных М > 0 и r0 > 0 удовлетворяет неравенству | f (t) | ≤ M erοt. Функцию, обладающую такими свойствами, называют оригиналом, а переход от оригинала f(t) к изображению F(p) носит название ''преобразование Лапласа''. Этот переход будем обозначать стрелкой:
f(t) → F(p).

Свойства преобразования Лапласа

Непосредственное определение изображений по формуле (1) весьма затруднительно и может быть существенно облегчено использованием свойств преобразования Лапласа. Познакомимся с некоторыми из них.
Пусть F(p) и G(p) являются изображениями оригиналов f(t) и g(t). Тогда имеют место следующие соотношения:
  1. c·f (t) → c·F (p) при с = const — свойство однородности;
  2. f (t) + g (t) → F (p) + G (p) — свойство аддитивности;
  3. eα t·f (t) →F (p - α) при α = const — теорема смещения;
  4. f ' (t) → p F (p) - f (0)
  5. f (n) (t) → pn F (p) - pn-1 f (0) - pn-2 f ' (0) - … - p f (n - 2) (0) - f (n - 1) (0) — теорема дифференцирования оригинала;
  6. t f (t) → − F ' (p); tn f (t) → ( - 1)n F(n) (p) — теорема дифференцирования изображения.

Доказательство свойств преобразования Лапласа

  1. ;
  2. ;
  3. ;
  4. , так как при p > p0 имеем .
  5. . Справедлива и общая формула
    .

Примеры определения изображений

  1. Образ единицы. , так как .
  2. Образ константы. Применяя свойство однородности, получим при с = const, .
  3. Образ экспоненты. По теореме смещения получим .
  4. По теореме дифференцирования изображения получим , .
  5. .
  6. .
  7. .
  8. .
    Используя формулы Эйлера для тригонометрических функций, свойство однородности и аддитивности, а также соотношение 3, получим
  9. .
  10. .
    Применяя теорему смещения, получим
  11. .
  12. .
  13. .
    Например
  14. .
  15. .
  16. .
  17. .

Обращение изображений

 Отыскание оригиналов по известным изображениям называется обращением изображений. В простейших случаях эта операция выполняется с помощью простейших вышеприведённых соотношений и свойств преобразований Лапласа. При интегрировании дифференциальных уравнений возникает необходимость обращать правильные рациональные дроби. Так как такие дроби всегда представимы суммой простейших дробей вида
( D = a2 - 4 b, n – натуральное число), то достаточно познакомиться с приёмами обращения последних.
Рассмотрим три возможных случая.
1) . Такая дробь легко образается с помощью формулы (11).
Например,
←.
2) . В этом случае следует выделить в знаменателе полный квадрат, а затем разбить на два слагаемых, подобный правым частям формул (12) и (13) по следующему образцу
← 5· e3t cos 2 t + 11 e3t sin 2 t.
3) , где Qs – многочлен степени s < 2 n. Методом неопределённых коэффициентов такая дробь может быть разложена в сумму вида
Для того, чтобы обратить слагаемы этой суммы, сначала методом, указанным выше, найдём оригиналы
← fk ( t ),
затем используем теорему дифференцирования изображения
← (- 1 )k t k fk ( t )
 Пример. Найти оригонал изображения .
Решение. Разложим образ на простейшие дроби методом неопределённых коэффициентов
.
Поэтому
3 p + 7 = ( A0 p +B0 )·( p2 - 6 p + 13) + A1 (p2 - 6 p + 13) - (A1 p +B1)· (2 p - 6 ).
Приравнв коэффициенты при одинаковых степенях p в левой и правой частях равенства и решив полученную при этом систему уравнений, найдём, что A0 = 0, B0 = 2, A1 = 2, B1 = -7,5.
 Следовательно,
.
Так как
← e3t sin 2t,
← 2 e3t cos 2t - 0,75 e3t sin 2t;
← - t·(2 e3t cos 2t - 0,75 e3t sin 2t),
то
← e3t sin 2t - t (2 e3t cos 2t - 0,75 e3t sin 2t).