К содержанию второй части

Точечные оценки

 Статистической оценкой Θ* неизвестного параметра Θ теоретического распределения называют функцию f (Х1, Х1, …, Xn) от наблюдаемых случайных величин Х1, Х1, …, Xn.
 Точечной называют статистическую оценку, которая определяется одним числом Θ* = f (x1, x1, …, xn), где x1, x1, …, xn — результаты n наблюдений над количественным признаком X (выборка).
 Несмещенной называют точечную оценку, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки.
 Смещенной называют точечную оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру.
  Несмещенной оценкой генеральной средней (математического ожидания) служит выборочная средняя
,
где xi – варианта выборки, ni – частота варианты xi, – объем выборки.
 З а м е ч а н и е 1. Если первоначальные варианты xi большие числа, то для упрощения расчета целесообразно вычесть из каждой варианты одно и то же число С, т. е. перейти к условным вариантам ui = ui − С (в качестве С выгодно принять число, близкое к выборочной средней; поскольку выборочная средняя неизвестна, число С выбирают ''на глаз ''). Тогда
.
 Смещённой оценкой генеральной дисперсии служит выборочная дисперсия
эта оценка является смещенной, так как
.
 Более удобна формула
.
 З а м е ч а н и е 2. Если первоначальные варианты xi – большие числа, то целесоббразно вычесть из всех вариант одно и то же число С, равное выборочной средней или близкое к ней, т. е. перейти к условным вариантам ui = ui − С (дисперсия при: этом не изменится). Тогда
.
 3 а м е ч а н и е 3. Если первоначальные варианты являются десятичными дробями с к десятичными знаками после запятой, то, чтобы избежать действий с дробями,, умножают первоначальные варианты на постоянное число С = 10k, т. е. переходят к условным вариантам ui = С хi. При этом дисперсия увеличится в С2 раз. Поэтому, найдя дисперсйю условных вариант, надо разделить ее на С2:
.
 Несмещенной оценкой генеральной дисперсии служит исправленная выборочная дисперсия
.
Более удобна формула
.
В условных вариантах она имеет вид
,
причем если ui = xi − C, то s2 (X) = s2 (u), если ui = xi · C, то s2 (X) = s2 (u)/С2.
  1. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n = 50:
    Варианта xi 2 5 7 10
    Частота ni 16 12 8 14
    Найти несмещенную оценку генеральной средней.
    Р е ш ен и е. Несмещенной оценкой генеральной средней является вырочная средняя. |
  2. Из генеральной совокупности, извлечена выборка объема n = 60:
    Варианта xi 1 3 6 26
    Частота ni 8 40 10 2
    Найти несмещенную оценку генеральной средней.
  3. Задано распределение первоначальных вариант выборки объема n:
    Варианта xi x1 x2 … xk
    Частота ni n1 n2 … nk
    Доказать, что
    ,
    где условные варианты ui = xi − C.
  4. Найти выборочную среднюю по данному распределению выборки объема n = 10:
    xi 1250 1270 1280
    ni 2 5 3
  5. Найти выборочную среднюю по данному распределению выборки объема n = 20:
    xi 2560 2600 2620 2650 2700
    ni 2 3 10 4 1
  6. По выборке объема n = 41 найдена смещенная оценка Dв = 3 генеральной дисперсии. Найти несмещенную оценку дисперсии генеральной совокупности.
    Искомая несмещенная оценка равна исправленной дисперсии s2.
  7. По выборке объема n = 51 Найдена смещенная оценка Dв = 5 генеральной дисперсии. Найти несмещенную оценку дисперсии генеральной совокупности.
  8. В итоге пяти измерений длины, стержня одним прибором (без систематических ошибок) получены следующие результаты (в мм): 92; 94; 103; 105; 106. Найти:
    а) выборочную среднюю длину стержня;
    б) выборочную и исправленную дисперсии ошибок прибора.
  9. В итоге четырех измерений некоторой физической величины одним прибором (без систематических ошибок) получены следующие результаты: 8; 0; 11; 12. Найти:
    а) выборочную среднюю результатов измерений;
    б) выборочную и исправленную дисперсии ошибок прибора.
  10. Ниже приведены результаты измерения роста (в см) случайно отобранных 100 студентов.
    Рост 154 - 158 158 - 162 162 - 166 166 - 170 170 - 174 174 - 178 178 - 182
    Число студентов 10 14 26 28 12 8 2
    Найти выборочную среднюю и выборочную дисперсию роста обследованных студентов.
    У к а з а н и е . Найти середины интервала и принять их в качестве вариант.
  11. Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема n = 10:
    xi 186 192 184
    ni 2 5 3
  12. Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема n = 100:
    xi 340 360 375 380
    ni 20 50 18 12
  13. Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема n = 100:
    xi 2502 2804 2903 3028
    ni 8 30 60 2
  14. Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема n = 10:
    xi 0,01 0,04 0,08
    ni 5 3 2
  15. Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема n = 50:
    xi 0,1 0,5 0,6 0,8
    ni 5 15 20 10
  16. Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема n = 50:
    xi 18,4 18,9 19,3 19,5
    ni 5 10 20 15
  17. Найти исправленную выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема n = 10:
    xi 102 104 108
    ni 2 3 5
  18. Найти исправленную выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема n = 100:
    xi 1250 1275 1280 1300
    ni 20 25 50 5
  19. Найти исправленную выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема n = 10:
    xi 0,01 0,05 0,09
    ni 2 3 5
  20. Найти исправленную выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема n = 20:
    xi 0,1 0,5 0,7 0,9
    ni 6 12 1 1
  21. Найти исправленную выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема n = 10:
    xi 23,5 26,1 28,2 30,4
    ni 2 3 4 1