Интервальные оценки

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала, покрывающего оцениваемый паранетр.
Доверительным называют интервал, котрый с заданной надежностью γ покрывает заданный параметр.

Интервальной оценкой (с надежностью γ) математического ожидания а нормально распределенного количественного признака X по выборочной средней x_в при неизвестном следнем квадратическом отклонении от генеральной совокупности служит доверительный интервал , где – точность оценки, n – объем выборки, t – знчение аргумента функции Лапласа Ф (t) (приложение 2) при котором Ф (t) = γ/2; при неизвестном σ (и объеме выборки n < 30) , где s – ''исправленное'' выборочное среднее квадратическое отклонение, t_γ находят по таблице приложения 3 по заданным n и γ.
Интервальной оценкой (c надежностью γ) среднего квадратического отклонения σ нормально распределенного количественного признака X по ''исправленному'' выборочному среднему квадратическому отклонению s служит доверительный интервал s (1 − q) < σ < s (1 + q) (при q < 1),
0 < σ < s (1 + q) (при q > 1). где q находят по таблице приложений 4 по заданным n и γ.
Интервальной оценкой (с надёжностью γ) неизвестной вероятности р биномиального растределения по относительной частоте w служит доверительный интервал ( с приближёнными концами p₁ и p₂) p₁ < p < p₂, где где n – общее число испытаний; m – число появлений события; w – относительная частота, равная отиошению m / n ; t – значение аргумента функции Лапласа (приложение 2), при котором Ф(t) = γ/2 (γ – заданная надежяость).
З а м е ч а н и е . При больших значениях n (порядка сотен) можно принять в качестве приближенных границ доверительного интервала

Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,95 неизвестного математического ожидания а нормально распределенного прианака X генеральной совокупности, если генеральное среднее квадратичсское отклонение σ = 5, выборочная средняя x_в = 14 и объем выборки n = 25.
Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,99 неизвестного математического ожидания а нормально распределенного признака X генеральной совокупности, если известны генеральное среднее квадратическое отклонение σ, выборочная средняя x_в и объем выборки n: а) σ = 4, x_в = 10,2, n = 16; б) σ = 5, x_в = 16,8, n = 25.
Одним и тем же прибором со средним квадрахическим отклонением случайных ошибок измерений σ = 40 м произведено пять равноточных измерений расстояния от орудия до цели. Найти доверительный интервал для оценки истинного расстояния а до цели с надежностью γ = 0,95, зная среднее арифметическое результатов измерений x_в = 2000 м.
Предполагается, что результаты измерений распределены нормально.
Выборка из большой партии электроламп содержит 100 ламп. Средняя продолжительность горения лампы выборки оказалась равной 1000 ч. Найти с надежностью 0,95 доверительный интервал для средней продолжительности а горения лампы всей партии, если известно, что среднее квадратическое отклонение продолжительности горения лампы σ = 40 ч. Предполагается, что продолжительность горения ламп распределена нормально.
Станок – автомат штампует валики. По выборке объема n = 100 вычислена выборочная средняя диаметров изготовленных валиков. Найти с надежностью 0,95 точность δ, с которой выборочная средняя оценивает математическое ожидание диаметров, изготовляемых валиков, зная, что их среднее квадратическое отклонение σ = 2 мм. Предполагается, что диаметры валиков распределены нормально.
Найти минимальный объем выборки, при котором с надежностью 0,975 точность оценки математического ожидания а генеральной совокупности по выборочной средней равна δ = 0,3, если известно среднее квадратическое отклонение σ = 1,2 нормально распределенной генеральной совокупности.
Найти минимальный объем выборки, при котором с надежностью 0,925 точность оценки математического ожидания нормально распределенной генеральной совокупности по выборочной средней равна 0,2, если известио среднее квадратическое отклонение генеральной совокупности σ = 1,5.
Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n = 10:

Варианта x_i -2 1 2 3 4 5

Частота n_i 2 1 2 2 2 1

Оценить с надежностью 0,95 математическое ожидание а нормально распределенного признака генеральной совокупности по выборочной средней при помощи доверительного интервала.

Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n = 12:

Варианта	x_i	− 0,5	− 0,4	− 0,2	0	0,2	0,6	0,8	1	1,2	1,5
Частота	n_i	1	2	1	1	1	1	1	1	2	1

Оценить с надежностью 0,95 математическое ожидание а нормально распределенного признака генеральной совокупности с помощью доверительного интервала.

По данным девяти независимых равноточных измерений некоторой физической величины найдены среднее арифметическое результатов измерений x_в = 30,1 и "исправленное" среднее квадратическое отклонение s = 6. Оценить истинное значение измеряемой величины с помощью доверительного интервала с надежностью γ = 0,99. Предполагается, что результаты измерений распределены нормально.
По данным 16 независимых равноточных измерений некоторой физической величины найдены среднее арифметическое результатов измерений x_в = 42,8 и "исправленное" среднее квадратическое отклонение s = 8. Оценить истинное значение измеряемой величины с надежностью γ = 0,999.
По данным выборки объема n = 16 из генеральной совокупности найдено "исправленное" среднее квадратическое отклонение s = 1 нормально распределенного количественного признака. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение σ с надежностью 0,95.
По данным выборки объема n из генеральной совокупности нормально распределенного количественного признака найдено "исправленное" среднее квадратическое отклонение s. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклоение σ с надежностью 0,999, если: а) n = 10, s = 5,1; б) n = 50, s = 14.
Произведено 12 измерений одним прибором (без cистематической ошибки) некоторой физической велиины, причем "исправленное" среднее квадратическое отклонение s случайных ошибок измерений оказалось равным 0,6. Найти точность прибора с надежностью 0,99. Предполагается, что результаты измерений распределены ормально.
Произведено 10 измерений одним прибором (без систематической ошибки) некоторой физической величины,, причем "исправленное" среднее квадратическое отклонение s случайных ошибок измерений, оказалось равным 0,8. Найти точность прибора с надежностью 0,95. Предполагается, что результаты измерений распределены нормально
Производятся независимые испытания с одинаковой, но неизвестной вероятностью р появления события А в каждом испытании. Найти доверительный интервал для опенки вероятности р с надежностью 0,95, если в 60 испытаниях событие А появилось 15 раз.
Производятся независимые испытания с одинаковой, но неизвестной вероятностью р появления события А в каждом испытании. Найти доверительный интервал для оценки вероятности р с надежностью 0,99, если в 100 испытаниях событие A появилось 60 раз.
Изготовлен экспериментальный игровой автомат, который должен обеспечить появление выигрыша в одном случае из 100 бросаний монеты в автомат. Для проверки пригодности автомата произведено 400 испытаний, причем выигрыш появился 5 раз. Найти доверительный интервал, покрывающий неизвестную вероятность появления выигрыша с надежностью γ = 0,999.
Произведено 300 испытаний, в каждом из которых неизвестная вероятность р появления события A постоянна. Событие А появилось в 250 испытаниях. Найти доверительный интервал, покрывающий неизвестную вероятность р с надежностью 0,95.
В 360 испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события одинакова и неизвестна, событие А появилось 270 раз. Найти доверительный интервал, покрывающий неизвестную вероятность р с надежностью 0,95.
Среди 250 деталей, изготовленных станком-автоматом, оказалось 32 нестандартных. Найти доверительный интервал, покрывающий с надежностью 0,99 неизвестную вероятность р изготовления станком нестандартной детали.
При испытаниях 1000 элементов зарегистрировано 100 отказов. Найти доверительный интервал, покрывающий неизвестную вероятность р отказа элемента с надежностью: а) 0,95; б) 0,99