Линейная корреляция

Если обе линий регрессии Y на X и X на Y - прямые, то корреляцию называют линейной.
Выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на X имеет вид

(*) y_x условная средняя; x и y - выборочные средние признаков X и Y; σ_x и σ_y выборочные средние квадратические отклонения; r_в – выборочный коэффициент корреляции, причем

Выборочное уравнение прямой линии регрессии X на Y имеет вид

(**) Если данные наблюдений над признаками X и Y заданны в виде корреляционной таблицы с равностоящими вариантами, то целесообразно перейти к условным вариантам:

где C₁ «ложный нуль» вариант X (новое начало отсчета); в качестве ложного нуля выгодно принять варианту, которая расположена примерно в середине вариационного ряда (условимся принимать в качестве ложного нуля варианту, имеющую наибольшую частоту); h₁ – шаг, т.е. разность между двумя соседними вариантами X; C₂ – «ложный нуль» вариант Y; h₂ – шаг вариант Y. В этом случае выборочный коэффициент корреляции

причем слагаемое Σ n_uvuv удобно вычислять, используя расчётную табл. 7. Величины u, v, σ_u, σ_v могут быть найдены либо методом произведений (при большом числе данных), либо непосредственно по формулам:

Зная эти величины, можно определить входящие в уравнения регрессии (*) и (**) величины по формулам:

Для оценки силы линейной корреляционной связи служит выборочный коэффициент корреляции r_в.
Для обоснованного суждения о наличии связи между количественными признаками следует проверить, значим ли выборочный коэффициент корреляции.

535. Найти выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на Х по данным, приведённым в корреляционной табл. 5.

Таблица 5

Y	Х					n_y
Y	20	25	30	35	40	n_y
16	4	6	–	–	–	10
26	–	8	10	–	–	18
36	–	–	32	3	9	44
46	–	–	4	12	6	22
56	–	–	–	1	5	6
n_x	4	14	46	16	20	n = 100

Р е ш е н и е. Составим корреляционную табл. 6 в условных вариантах, выбрав в качестве ложных нулей С₁ = 30 и С₂ = 36 (каждая из этих вариант расположена в середине соответствующего вариационного ряда).

v	u					n_v
v	-2	-1	0	1	2	n_v
-2	4	6	–	–	–	10
-1	–	8	10	–	–	18
0	–	–	32	3	9	44
1	–	–	4	12	6	22
2	–	–	–	1	5	6
n_u	4	14	46	16	20	n = 100

Найдём: u и v:

Найдём вспомогательные величины

Найдем σ_u и σ_v

Найдем ∑n_uvuv, для чего составим расчетную табл. 7. Суммируя числа последнего столбца табл. 7, находим

Для контроля вычислений находим сумму чисел последней строки:

Совпадение сумм свидетельствует о правильности вычислений.

Таблица 7

Пояснения к составлению табл. 7.

Произведение частоты n_uv на варианту u, т. е. n_uvu, записывают в правом верхнем углу клетки, содержащей значение частоты. Например, в правых верхних углах клеток первой строки записаны произведения: 4∙(− 2) = -8; 6∙(− 1) = − 6.
Складывают все числа, помещенные в правых верхних углах клеток одной строки, и их сумму помещают в клетку этой же строки «столбца». Например, для первой строки u = − 8 + (− 6) = − 14.
Наконец, умножают варианту v на U и полученное произведение записывают в соответствующую клетку «столбца vU». Например, в первой строке таблицы v = − 2, U = − 14, следовательно, vU =(− 2)∙(− 14) = 28.
Сложив все числа «столбца vU», получают сумму , которая равна искомой сумме ∑n_uvuv. Например, для табл. 7 = 0,82, следовательно, искомая сумма ∑n_uvuv = 82.

Для контроля аналогичные вычисления производят по столбцам: произведения n_uvv записывают в левый нижний угол клетки, содержащей значение частоты; все числа, помещенные в левых нижних углах клеток одного столбца, складывают и их сумму помещают в «строку V»; наконец умножают каждую варианту u на V и в результат записывают в клетках последней строки.
Сложив все числа последней строки, получают сумму

, которая также равна искомой сумме ∑n_uvuv. Например, для табл. 7

, следовательно, ∑n_uvuv = 82.
Найдем искомый выборочный коэффициент корреляции:

Найдем шаги h₁ и h₂ (разности между любыми двумя соседними вариантами): h₁ = 25 – 20 = 5; h₂ = 26 – 16 = 10. Найдем x и y, учитывая, что C₁ = 30, C₂ = 36: x = u h₁ + С₁ = 0,34·5 + 30 = 31,70,
y = v h₂ + С₂ = (− 0,04)·10 + 36 = 35,60. Найдем σ_x и σ_y: σ_x = h₁∙σ_u = 5∙1,07 = 5,35; σ_y = h₂∙σ_v = 10∙1,02 = 10,2. Подставив найденные величины в соотношение (*), получим искомое уравнение прямой лини регрессии Y на X:

или окончательно y_x = 1,45 x − 10,36.. 536. Найти выборочные уравнения прямых линий регрессии Y на X и X на Y по данным, приведенным в следующих корреляционных таблицах:
а)

Y	X
Y	5	10	15	20	25	30	35	40	n_y
100	2	1	-	-	-	-	-	-	3
120	3	4	3	-	-	-	-	-	10
140	-	-	5	10	8	-	-	-	23
160	-	-	-	1	-	6	1	1	9
180	-	-	-	-	-	-	4	1	5
n_x	5	5	8	11	8	6	5	2	n = 50

б)

Y	X
Y	18	23	38	33	38	43	48	n_y
125	-	1	-	-	-	-	-	1
150	1	2	5	-	-	-	-	8
175	-	3	2	12	-	-	-	17
200	-	-	1	8	7	-	-	16
225	-	-	-	-	3	3	-	6
250	-	-	-	-	-	1	1	2
n_x	1	6	8	20	10	4	1	n = 50

в)

Y	X
Y	5	10	15	20	25	30	35	n_y
100	-	-	-	-	-	6	1	7
120	-	-	-	-	-	4	2	6
140	-	-	8	10	5	-	-	23
160	3	4	3	-	-	-	-	10
180	2	1	-	1	-	-	-	4
n_x	5	5	11	11	5	10	3	n = 50