Проверка гипотез

Графическая проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности. Метод спрямленных диаграмм

   А. Сгруппированные данные. Пусть эмпирическое распределение выборки из генеральной совокупности X задано в виде последовательности интервалов (х₀, х₁), (х₁, х₂), …, (х_{k - 1}, х_k), и соответствующих им частот n_i(n_i — число вариант, попавших в i - й интервал). Требуется графически проверить гипотезу о нормальном распределении X.
   Предварительно введем определение р - квантили случайной величины X. Если задана вероятность р, то р-квантилью (квантилем) X называют такое значение аргумента и_р функции распределения F(х), для которого вероятность события X < u_р равна заданному значению р. Например, если величина X распределена нормально и p =0,975, то u_р = и_0,975 = 1,96. Это означает, что Р (X < 1,96) =0,975.
   Заметим, что поскольку функция распределения общего и нормированного нормальных распределений связаны равенством

и, следовательно, u_p = (x_p − a)/σ.
Правило 1. Для того чтобы графически проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности X по эмпирическому распределению, заданному в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот, надо:

Составить расчетную табл.1. Квантили находят по таблице (см. приложение).

Таблица 1

1	2	3	4	5	6	7
Номер интервала	Правый конец интервала	Частота	Накопленная частота	Относительная накопленная частота	Относительная накопленная частота, %	Квантили
i	x _i	n _i			P_i·100%	u_{p _i}

В столбце 6 табл. 1 относительные накопленные частоты умножены на 100, так как в таблице приложения эти частоты указаны в процентах.

Рис.1

Построить в прямоугольной системе координат (х; u) точки (х₁; u₁), (х₂; u₂),... (значок р при квантилях опушен для простоты записи ). Если эти точки лежат вблизи некоторой прямой, то нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении X; если же построенные точки удалены от прямой, то гипотезу отвергают.

   З а м е ч а н и е 1. Следует иметь в виду, что «начальные» и «конечные» точки (х_i; u_i), могут заметно отклоняться от прямой u = (x − a)/σ.
   Замечание 2. Если построенные точки оказались вблизи прямой, то легко графически оценить параметры а и σ нормального распределения. В качестве оценки математического ожидания а можно принять абсциссу точки L (х_L; 0) пересечения построенной прямой с осью Ох. В качестве оценки среднего квадратического отклонения σ можно принять разность абсцисс точки L (х_L; 0) и точки N( х_N; − 1) пересечения построенной линии с прямой u = − 1: σ* = х_L – х_N (рис. 1).
   Замечание 3. При наличии вероятностной бумаги надобность в отыскании квантилей отпадает: на соответствующей оси откладывают накопленные относительные частоты.

641. Пусть метод спрямленных диаграмм подтверждает гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности X, т.е. точки (х_i; u_i) оказались вблизи прямой

u = (x − a)/σ. (*)

Почему в качестве оценки математического ожидания а нормального распределения можно принять абсциссу х_L точки L пересечения прямой (*) с осью Ох(рис.1, а)?
Почему в качестве оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения можно принять разность абсцисс х _L− х_N (рис. 1, б)?

Р е ш е н и е. а) В точке L пересечения прямой (*) с осью Охордината u = 0, абсцисса х = x_L(рис. 1, а). Положив в уравнении (*) u = 0, х = x_L , получим 0 = (x _L− a)/σ. Отсюда а = х_L.
б) Обозначим через N такую точку прямой (*), ордината которой u = − 1; абсциссу этой точки обозначим через х_N. Подставим координаты точки N в уравнение (*): - 1 = (x_N - a)/σ. Отсюда σ = а - х_N. Учитывая, что а = х_L, окончательно получим σ = х _L− х_N.
642. Из генеральной совокупности X извлечена выборка объема n = 100, которая задана в виде последовательности интервалов одинаковой длины и соответствующих им частот n_i (n_i - число вариант, попавших в i - й интервал). Эмпирическое распределение приведено в табл. 2.

Таблица 2

Номер интервала i	Границы интервала		Частота n_i	Номер интервала i	Границы интервала		Частота n_i
Номер интервала i	х_{i - 1}	х _i	Частота n_i	Номер интервала i	х_{i - 1}	х _i	Частота n_i
1	1	3	2	7	13	15	16
2	3	5	4	8	15	17	11
3	5	7	6	9	17	19	7
4	7	9	10	10	19	21	5
5	9	11	18	11	21	23	1
6	11	13	20				n = 100

Требуется: а) методом спрямленных диаграмм проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности X ; б)оценить графически математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение Х. Решение. а) 1. Составим расчетную табл. 3. Квантили для столбца 7 взяты из таблицы приложения.

Таблица 3

Номер интервала i	Правый конец интервала x_i	Частота n_i	Накопленная частота	Относительная накопленная частота	Относительная накопленная частота, % P_i·100	Квантили u_pi
1	3	2	2	0,02	2	-2,054
2	5	4	6	0,06	6	-1,55510
3	7	6	12	0,12	12	-1 ,17510
4	9	10	22	0,22	22	-0,77210
5	11	18	40	0,40	40	-0,25310
6	13	20	60	0,60	60	0,253
7	15	16	76	0,76	76	0,706
8	17	11	87	0,87	87	1,126
9	19	7	94	0,94	94	1,555
10	21	5	99	0,99	99	2,326
11	23	1	100	1,00	100	3,09

2. Построим в прямоугольной системе координат точки (x_i; u_р _i )(рис. 2).

Рис. 2 Построенные точки лежат вблизи прямой, поэтому нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении X. Другими словами, данные выборки согласуются с этой гипотезой.
   б) Найдем графически оценки математического ожидания и средквадратического отклонения предполагаемого нормального, распределения.
    В качестве оценки математического ожидания а примем абсциссу x_L = 12,1 точки L, пересечения построенной прямой с осью Ох.
   Оценим σ, для чего проведем через точку М(0; - 1) вертикальной оси прямую u = -1 до пересечения с построенной прямой в точке N; опустим из точки Nперпендикуляр на ось Ох; абсцисса основания этого перпендикуляра x_N = 8. В качестве оценки среднего квадратического отклонения примем разность абсцисс: σ* = x_L – x_N = 12,1 − 8 = 4,1.    Разумеется, полученные оценки грубые. В действительности а = 12,04; σ = 4,261.

643. Из генеральной совокупности X извлечена выборка объема n = 120, которая задана в виде последовательности интервалов одинаковой длины и соответствующих им частот (табл. 4).

Таблица 4

Номер интервала i	Границы интервала		Частота n_i	Номер интервала i	Границы интервала		Частота n_i
Номер интервала i	х_i-1	х _i	Частота n_i	Номер интервала i	х_i-1	х _i	Частота n_i
1	5	10	7	6	30	35	19
2	10	15	8	7	35	40	14
3	15	20	15	8	40	45	10
4	20	25	18	9	45	50	6
5	30	35	23
							n = 120

Требуется: а) методом спрямленных диаграмм проверить гипотезу о нормальном распределении X; б) оценить графически математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение X.
644. Из генеральной совокупности Xизвлечена выборка объема n = 100, заданная табл. 5.

Таблица 5

Номер интервала i	Границы интервала		Частота n_i	Номер интервала i	Границы интервала		Частота n_i
Номер интервала i	х_i-1	х _i	Частота n_i	Номер интервала i	х_i-1	х _i	Частота n_i
1	6	16	8	5	46	56	35
2	16	26	16	6	56	66	6
3	26	36	7	7	66	76	5
4	36	46	15	8	76	86	8
n = 100

Требуется методом спрямленных диаграмм проверить гипотезу о нормальном распределении X.

Б. Несгруппированные по интервалам данные

Пусть эмпирическое распределение выборки задано в виде последовательности вариант х _i, расположенных в возрастающем порядке, т. е. в виде вариационного ряда, и соответствующих им частот n_i. Требуется графически проверить гипотезу о нормальном распределении X.
П р а в и л о 2. Для того чтобы по несгруппированной по интервалам выборке объема n проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности X, из которой извлечена выборка, надо:

Составить расчетную табл. 6. Сразу укажем, что при заполнении столбца 4 принято из суммы частот вычитать 1/2; значения квантилей для заполнения столбца 7 находят по таблице (см. приложение).
Построить в прямоугольной системе координат точки (х₁; u₁),(х₂; u₂), …, (х_k; u_k ) (значок р при u опущен для простоты записи). Если эти точки лежат вблизи некоторой прямой (в случае справедливости гипотезы о нормальном распределении X уравнение этой прямой) u = (x - x)/σ_в), то нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности X; в противном случае гипотезу отвергают.
З а м е ч а н и е 4. Замечания 1 - 3, приведенные выше для сгруппированной по интервалам выборки, остаются в силе.

645. Из генеральной совокупности X извлечена выборка объема n = 50, несгруппированная по интервалам (в первой строке указаны варианты, а во второй - соответствующие частоты):

х _i	1,40	1,52	1,63	1,69	1,73	1,78	1,89	1,92	1,95
n_i	1	1	1	1	2	1	1	1	1

х _i	1,98	1,99	2,03	2,07	2,12	2,16	2,20	2,23	2,26	2,31
n_i	1	1	2	1	3	2	1	1	1	3

х _i	2,36	2,40	2,44	2,47	2,50	2,52	2,55	2,60	2,64
n_i	3	3	1	1	1	1	1	1	3

х _i	2,71	2,74	2,78	2,86	2,93	3,02	3,30
n_i	1	1	2	1	2	1	1

   Требуется: а) методом спрямленных диаграмм проверить гипотезу о нормальном распределении X; б) оценить графически математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение X.
   Решение. 1. Составим расчетную табл. 7.
   2. Построим в прямоугольной системе координат точки (х _i , u_i) (рис. 3).

(рис. 3) Построенные точки лежат вблизи прямой, поэтому нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении X, данные выборки согласуются с этой гипотезой.
б) Найдем графически, используя рис. 2, оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения предполагаемого нормального распределения.
В качестве оценки математического ожидания а примем абсциссу х_L= 2,30 точки L пересечения построенной прямой с осью Ох.

Таблица 7

Номер варианта i	Вариантах_i	Частота n_i	Накопленная частота минус 1/2 N_i = − 1/2	Относительная накопленная частота	Относительная накопленная частота, % P_i = F^*×100	Квантили u_Pi
1	1,40	1	0,5	0,01	1	− 2,326
2	1,52	1	1,5	0,03	3	− 1,881
3	1,63	1	2,5	0,05	5	− 1,645
4	1,69	1	3,5	0,07	7	− 1,476
5 – 6	1,73	2	5,5	0,11	11	− 1,227
7	1,78	1	6,5	0,13	13	− 1,126
8	1,89	1	7,5	0,15	15	− 1,036
9	1,92	1	8,5	0,17	17	− 0,954
10	1,95	1	9,5	0,19	19	− 0,878
11	1,98	1	10,5	0,21	21	− 0,806
12	1,99	1	11,5	0,23	23	− 0,739
13 – 14	2,03	2	13,5	0,27	27	− 0,613
15	2,07	1	14,5	0,29	29	− 0,553
16 – 18	2,12	3	17,5	0,35	35	− 0,385
19 – 20	2,16	2	19,5	0,39	39	− 0,279
21	2,20	1	20,5	0,41	41	− 0,228
22	2,23	1	21,5	0,43	43	− 0,176
23	2,26	1	22,5	0,45	45	− 0,126
24 - 26	2,31	3	25,5	0,51	51	0,025
27 - 29	2,36	3	28,5	0,57	57	0,176
30 - 32	2,40	3	31,5	0,63	63	0,332
33	2,44	1	21,5	0,65	65	0,385
34	2,47	1	33,5	0,67	67	0,440
35	2,50	1	34,5	0,69	69	0,496
36	2,52	1	35,5	0,71	71	0,553
37	2,55	1	36,5	0,73	73	0,613
38	2,60	1	37,5	0,75	75	0,674
39 - 41	2,64	3	40,5	0,81	81	0,878
42	2,71	1	41,5	0,83	83	0,954
43	2,74	1	42,5	0,85	85	1,036
44 - 45	2,78	2	44,5	0,89	89	1,227
46	2,86	1	45,5	0,91	91	1,341
47 - 48	2,93	2	47,5	0,95	95	1,645
49	1,02	1	48,5	0,97	97	1,881
50	1,30	1	49,5	0,99	99	2,326

Оценим σ, для чего проведем через точку М (0; -1) вертикальной оси прямую u = − 1 до пересечения с построенной прямой линией в точке N ; опустим из точки N перпендикуляр на ось Ох; абсцисса основания этого перпендикуляра х_N = 1,90. В качестве оценки среднего квадратического отклонения σ примем разность абсцисс: σ = х _L - х_N = 2 , 30 − 1,90 = 0,40. 646. Из генеральной совокупности X извлечена выборка объема n = 50. Составлены следующие таблицы (в первой строке указаны варианты, а во второй - соответствующие частоты):

х _i	− 20,0	− 17,0	− 14,1	− 11,5	− 10,5
n_i	1	1	1	1	1

х _i	− 9,0	− 8,0	− 6,5	− 5,5
n_i	1	1	1	1

х _i	− 4,0	− 3,0	− 1,5	− 1,0	− 0,0	− 0,5
n_i	1	1	1	1	1	2

х _i	1,0	1,5	2,0	2,5	3,5	4,0	4,5
n_i	1	1	2	1	1	2	1

х _i	5,0	6,0	6,5	7,0	8,0	8,5	9,5	10,0	10,5	11,0	12,0	12,5
n_i	2	1	1	2	2	2	1	1	1	1	1	1

х _i	13,0	14,0	14,5	17,0	18,0	19,0	19,5	21,0	23,5
n_i	1	1	1	1	1	1	1	1	1

Требуется: а) методом спрямленных диаграмм проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности X ; б) оценить графически математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение X. Указание. Использовать таблицу квантилей (см. приложение).