Проверка гипотез

Проверка гипотезы о показательном распределении генеральной совокупности

Задано эмпирическое распределение непрерывной случайной величины X в виде последовательности интервалов х_i − х_{i + 1} и соответствующих им частот n_i, причем Σ n _i = n (объем выборки). Требуется, используя критерий Пирсона, проверить гипотезу о том что случайная величина X имеет показательное распределение.
П р а в и л о. Для того чтобы при уровне значимости α, проверить гипотезу о том, что непрерывная случайная величина распределена по показательному закону, надо:

Найти по заданному эмпирическому распределению выборочную среднюю x_в. Для этого, приняв в качестве «представителя» i-го интервала его середину x^*_i = (x _i + x_{i + 1})/2, составляют последовательность равноотстоящих вариант и соответствующих им частот.
Принять в качестве оценки параметра λ показательного распределения величину, обратную выборочной средней: λ^* = 1/x_в.
Найти вероятности попадания X в частичные интервалы (х _i, х _{i +1} ) по формуле
Вычислить теоретические частоты: где Σ n _i = n - объем выборки.
Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона, приняв число степеней свободы k = s − 2, где s - число первоначальных интервалов выборки: если же было произведено объединение .малочисленных частот, следовательно, и самих интервалов, то s - число интервалов, оставшихся после объединения.

647. Почему при проверке по критерию Пирсона гипотезы о показательном распределении генеральной совокупности число степеней свободы определяется равенством k = s − 2, где s - число интервалов выборки?
Решение. При использовании критерия Пирсона число степеней свободы k = s − 1 − r, где r -число параметров, оцениваемых по выборке. Показательное распределение определяется одним параметром λ.Так как этот параметр оценивается по выборке, то r = 1 и, следовательно, число степеней свободы k = s − 1 − 1 = s − 2.

648. В результате испытания 200 элементов на длительность работы получено эмпирическое распределение, приведенное в табл. 31 (в первом столбце указаны интервалы времени в часах, во втором столбце - частоты, т. е. количество элементов, проработавших время в пределах соответствующего интервала).

Таблица 1

х _i− х_{i +1}	n_i	х_i − х_{i + 1}	n_i
0 − 5	133	15 – 20	4
5 − 10	45	20 − 25	2
10 – 15	15	25 – 30	1

Требуется, при уровне значимости 0,05, проверить гипотезу о том, что время работы элементов распределено по показательному закону.
Р е ш е н и е.

Найдем среднее время работы всех элементов (в качестве среднего времени работы одного элемента примем середину интервала, которому принадлежит элемент): x_в = (133·2,5 + 45·7,5 + 15·12,5 + 4·17,5 + 2·22,5 + 1·27,5)200 = 1000/200 = 5.
Найдем оценку параметра предполагаемого показательного распределения: λ^* = 1/x_в = 1/5 = 0,2. Таким образом, дифференциальная функция предполагаемого показательного распределения имеет вид f (x) = 0,2·e^-0,2·x (x > 0).
Найдем вероятности попадания Xв каждый из интервалов по формуле Например, для первого интервала Р₁ = Р (0 < X < 5) = е ^-0,2·0 – e ^-0,2·5 = 1 – е^-1 = 1 - 0,3679 = 0,6321.
Аналогично вычислим вероятности попадания X в остальные интервалы: Р ₂ = 0,2326; Р₃ = 0,0855; Р₄ = 0,0315; Р₅ = 0,0116; Р₆ = 0,0042.
Найдем теоретические частоты: = 200·P _i, где Р _i - вероятность попадания X в i-й интервал. Например, для первого интервала n´₁ = 200·P₁ = 200·0,6321 = 126,42. Аналогично вычислим остальные теоретические частоты: n´₂ = 46,52; n´₃ = 17,1; n´₄ = 6,3; n´₅ = 2,32; n´₆ = 0,84.
Сравним эмпирические и теоретические частоты с помощью критерии Пирсона. Для этого составим расчетную таблицу 2, причем объединим малочисленные частоты (4 + 2 + 1 = 7) и соответствующие им теоретические частоты (6,30 + 2,32 + 0,84 = 9,46).

Таблица 2

i	n_i	n′_i	n_i - n′_i	(n_i − n′_i)²
1	133	126,42	6,58	43,2964	0,3425
2	45	46,52	−1,52	2,3104	0,0497
3	15	17,10	−2,10	4,4100	0,2579
4	7	9,46	−2,46	6,0516	0,6397
Σ	n = 200

З а м е ч а н и е. Для упрощения вычислений в случае объединения малочисленных частот целесообразно (объединить и сами интервалы, которым принадлежат малочисленные частоты, в один интервал. Так, в рассматриваемой задаче, объединив последние три интервала получим один интервал (15, 30). В этом случае теоретическая частота n′₄ = n·P(15 < X < 30) = 200·0,0473 = 9,46 совпадает с суммой теоретических частот (9,46), приведенной в табл. 2. Из табл. 2 находим: χ²_набл = 1,29. По таблице критических точек распределения χ² (см. приложение), по уровню значимости α = 0,05 и числу степеней свободы k = s − 2 = 4 – 2 = 2 находим критическую точку правосторонней критической области χ²_кр (0,05; 2) = 6. Так как χ²_набл < χ²_кр - нет оснований отвергнуть гипотезу о распределении X по показательному закону. Другими словами, данные наблюдений согласуются с этой гипотезой.

649. В итоге испытания 450 ламп было получено эмпирическое распределение длительности их горения, приведенное в табл. 3 (в первом столбце указаны интервалы в часах, во втором столбце - частота n_i, т. е. количество ламп, время горения которых заключёно в пределах соответствующего интервала). Требуется при уровне значимости 0,01 проверить гипотезу о том, что время горения ламп распределено по показательному закону.

Таблица 3

х _i - х_{i +1}	n_i	х _i- х_{i +1}	n_i
0 – 400	121	1600 – 2000	45
400 – 800	95	2000 – 2400	36
800 – 1200	76	2400 – 2800	21
1200 - 1600	56
			n = 450

650. В итоге испытаний 1000 элементов на время безотказной работы получено эмпирическое распределение, приведенное в табл. 4 (в первом столбце указаны интервалы времени в часах; во втором столбце - частота n_i , т. е. количество отказавших элементов в i - м интервале).

Таблица 4

td>245

х _i - х_{i + 1}	n_i	х_i - х_{i + 1}	n_i
0 – 10	365	40 – 50	70
10 – 20	50 – 60	45
20 – 30	150	60 – 70	25
30 – 40	100
			n = 1000

Требуется при уровне значимости 0,01 проверить гипотезу о том, что время безотказной работы элементов распределено по показательному закону.
651. В итоге регистрации времени прихода 800 посетителей выставки (в качестве начала отсчета времени принят момент открытия работы выставки) получено эмпирическое распределение, приведенное в табл. 5 (в первом столбце указаны интервалы времени; во втором столбце - частоты n_i , т. е. количество посетителей, пришедших в течение соответствующего интервала).

Таблица 5

х _i - х_{i +1}	n_i	х _i− х_{i + 1}	n_i
0 – 1	259	4 – 5	70
1 – 2	167	5 – 6	47
2 – 3	109	6 – 7	40
3 – 4	74	7 – 8	34
			800

Требуется при уровне значимости 0,01 проверить гипотезу о том, что время прихода посетителей выставки распределено по показательному закону.