Полигон и гистограмма
А. Дискретное распределение признака X. Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (x1, n1), (x2, n2), …, (xk, nk), где xi – варианты выборки и ni – соответствующие им частоты.
Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (x1, ω1), (x2, ω2), …, (xk, ωk), где xi – варианты выборки и ω i – соответствующие им относительные частоты.
Б. Непрерывное распределение признака X. При непрерывном распределении признака весь интервал, в котором заключены все
наблюдаемые значения признака, разбивают на ряд частичных интервалов длины h и находят ni – сумму частот вариант, попавших в i – й интервал. Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины h, а высоты равны отношению ni/h (плотность частоты). Площадь частичного i – го прямоугольника равна h
·(ni/h) = ni – сумме частот вариант, попавших в i – й интервал. Площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т.е. объёму выборки n.
Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины h, а высоты равны отношению ωi/h (плотность относительных частоты). Площадь частичного i — го прямоугольника равна h·(ωi/h) = ω i – относительной частоте вариант, попавших в i – й интервал. Площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, т. е. единице.
443 . Построить полигон частот по данному распределению выборки:
Решение. Отложим на оси абсцисс варианты xi, а на оси ординат – соответствующие им частоты n i; соединив точки (xi, ni) отрезками прямых, получим искомый полигон частот.
444 . Построить полигон частот по данному распределению выборки:
| а) | | б) |
| xi | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 |
| ni | 10 | 15 | 30 | 20 | 25 |
|
445. Построить полигон относительных частот по данному распределению выборки:
| а) |
| xi | 2 | 4 | 5 | 7 | 10 |
| ωi | 0,15 | 0,2 | 0,1 | 0,1 | 0,45 |
| б) |
| xi | 1 | 4 | 5 | 8 | 9 |
| ωi | 0,15 | 0,25 | 0,3 | 0,2 | 0,1 |
|
| в) |
| xi | 20 | 40 | 65 | 80 |
| ωi | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,4 |
|
Решение а): Отложим на оси абсцисс варианты xi, а на оси ординат – соответствующие им относительные частоты ωi. Соединив точки (xi, ωi) отрезками прямых, получим искомый полигон относительных частот.
446. Построить гистограмму частот по данному распределению выборки объёма n = 100:
Номер интервала
i | Частичный интервал
xi - xi+1 | Сумма частот вариант интервала
ni | Плотность частоты
ni/h |
| 1 | 1-5 | 10 | 2,5 |
| 2 | 5-9 | 20 | 5 |
| 3 | 9-13 | 50 | 12,5 |
| 4 | 13-17 | 12 | 3 |
| 5 | 17-21 | 8 | 2 |
Решение. Построим на оси абсцисс заданные интервалы длины h = 4. Проведём над этими интервалами отрезки, параллельные оси абсцисс и находящиеся от неё на расстояниях, равных соответствующим плотностям частоты ni/h. Например, над интервалом (1, 5) построим отрезок, параллельный оси абсцисс, на расстоянии ni/h = 10/4 = 2,5; аналогично строят остальные отрезки.
447. Построить гистограмму частот по данному распределению выборки:
| а) |
Номер интервала
i | Частичный интервал
xi - xi + 1 | Сумма частот вариант интервала
ni | Плотность частоты
ni/h |
| 1 | 2-7 | 5 |
|
| 2 | 7-12 | 10 |
| 3 | 12-17 | 25 |
| 4 | 17-22 | 6 |
| 5 | 22-27 | 4 |
|
| б) |
Номер интервала
i | Частичный интервал
xi - xi + 1 | Сумма частот вариант интервала
ni | Плотность частоты
ni/h |
| 1 | 3-5 | 4 |
|
| 2 | 5-7 | 6 |
| 3 | 7-9 | 20 |
| 4 | 9-11 | 40 |
| 5 | 11-13 | 20 |
| 6 | 13-15 | 4 |
| 7 | 15-17 | 6 |
|
Указание. Найти предварительно плотность частоты ni/h для каждого интервала и заполнить последний столбец таблицы.
448. Построить гистограмму относительных частот по данному распределению выборки:
Номер интервала
i | Частичный интервал
xi - xi + 1 | Сумма частот вариант частичного интервала
ni |
| 1 | 0-2 | 20 |
| 2 | 2-4 | 30 |
| 3 | 4-6 | 50 |
| | n = ∑ ni = 100 |
Решение. Найдём относительные частоты: ω1 = 20/100 = 0,2; ω2 = 30/100 = 0,3; ω3 = 50/100 = 0,5; Найдём плотности относительных частот, учитывая, что длина интервала h = 2: ω1/h = 0,2/2 = 0,1; ω2/h = 0,3/2; ω3/h = 0,5/2=0,25. Построим на оси абсцисс данные частичные интервалы. Проведём над этими интервалами отрезки, параллельные оси абсцисс и находящимися от неё на расстояниях, равных соответствующим плотностям относительной частоты. Например, над интервалом (0, 2) проведём отрезок, параллельный оси абсцисс и находящийся от неё на расстоянии, равном 0,1; аналогично строят остальные отрезки.
449. Построить гистограмму относительных частот по данному распределению выборки:
| а) |
Номер интервала
i | Частичный интервал
xi - xi + 1 | Сумма частот вариант частичного интервала
ni |
| 1 | 10-15 | 2 |
| 2 | 15-20 | 4 |
| 3 | 20-25 | 8 |
| 4 | 25-30 | 4 |
| 5 | 30-35 | 2 |
| | n = ∑ ni= 20 |
|
| б) |
Номер интервала
i | Частичный интервал
xi - xi + 1 | Сумма частот вариант частичного интервала
ni |
| 1 | 2-5 | 6 |
| 2 | 5-8 | 10 |
| 3 | 8-11 | 4 |
| 4 | 11-14 | 5 |
| | n = ∑ n i = 25 |
|
Указание. Найти сначала относительные частоты, соответствующие плотности частоты для каждого интервала.