Криволинейная корреляция

Если график регрессии – кривая линия, то корреляцию называют криволинейной. В частности, в случае параболической корреляции второго порядка выборочное уравнение регрессии Y на X имеет вид y_x = Ax² + Bx + C Неизвестные параметры A, B и C находят (например, методом Гаусса) из системы уравнений:

(*) Аналогично находится выборочное уравнение регрессии Xна Y: x_y = A₁ y² + B₁y + C₁. Для оценки силы корреляции Y на X служит выборочное корреляционное отношение (отношение среднего квадратического отклонения к общему среднему квадратическому отклонению признака Y)

или в других обозначениях

Здесь

где n – объем выборки (сумма всех частот); n_x – частота значения признака Х; n_y – частота значения y признака Y; y общая средняя признака Y.
Аналогично определяется выборочное корреляционное отношение X к Y:

537. Найти выборочное уравнение регрессии y_x = Ax² + Bx + C по данным в корреляционной табл.8. Оценить силу корреляционной связи по выборочному корреляционному отношению.

Таблица 8

y	x			n_y
y	2	3	5	n_y
25	20	–	–	20
45	–	30	1	31
110	–	1	48	49
n_x	20	31	49	n = 100

Р е ш е н и е. Составим расчетную таблицу 9

x	n_x	y_x	n_x·x	n_x·x²	n_xx ³	n_x·x⁴	n_x·y_x	n_x·y_x·x	n_x·y_x·x²
2	20	25	40	80	160	320	500	1000	2000
3	31	47,1	93	279	837	2511	1460	4380	13141
5	49	108,67	245	1225	6125	30625	5325	26624	133121
Σ	100		387	1584	7122	33456	7285	32004	148262

Подставим числа, содержащиеся в последней строке табл. 9, в (*), получим систему уравнений относительно неизвестных коэффициентов A, B, C: 33456·A + 7122·B + 1584·C = 1458262,
7122·A + 1584·B + 378·C = 32004,
1584·A + 378·B + 100·C = 7285. Решив эту систему (например, методом Гаусса), найдем: A = 2,94, B = 7,27, C = − 1,25.Подставив найденные в уравнение регрессии y_x = Ax² + Bx + C окончательно получим y_x = 2,94 x² + 7,27 x + 1,25. Для того чтобы вычислить выборочное корреляционное отношение η_xy, предварительно найдем общую среднюю y, общее среднее квадратическое отклонение σ_y и межгрупповое среднее квадратическое отклонение

Найдем искомое выборочное корреляционное отношение:

538. Найти выборочное уравнение регрессии y_x = Ax² + Bx + C и выборочное корреляционное отношение η_yx по данным, приведенным в корреляционной таблице:
а)

y	x
y	0	1	2	3	4	n_y
0	18	1	1			20
3	1	20				21
5	3	3	10	2		20
10			7	12		19
17					20	20
n_x	22	26	18	14	20	n = 100

б)

y	x
y	0	4	6	7	10	n_y
7	19	1	1			21
13	2	14				16
40			22	2		27
80				15		15
200					21	21
n_x	21	18	23	17	21	n = 100

в)

y	x
y	0	4	5	n_y
1	50	5	1	56
35		44		44
50		5	45	50
n_x	50	54	46	n = 100

г)

y	x
y	0	1	2	3	4	n_y
10	20	5				25
11	7	15	3	1		26
20		3	17	4		24
35			8	13	7	28
50				5	42	47
n_x	27	23	28	23	49	n = 150

д)

y	x
y	7	8	9	n_y
200	41	7		48
300	1	52	1	54
400		8	40	48
n_x	42	67	41	n = 100

539. Найти выборочное уравнение регрессии x = Ay² + By + C и выборочное корреляционное отношение η_xy по данным, приведенным в корреляционной таблице:
а)

y	x
y	6	30	50	n_y
1	15			15
3	1	14		15
4		2	18	20
n_x	16	16	18	n = 50

б)

y	x
y	1	9	19	n_y
0	13			13
2	2	10		12
3	1	1	23	25
n_x	16	11	23	n = 50