Ранговая корреляция

   А. Выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена. Пусть выработка объема n содержит независимые объекты, которые обладают двумя качественными признаками: A и B. Под качественными подразумевают признак, который невозможно измерить точно, но он позволяет сравнить объекты между собой и, следовательно, расположить их в порядке убывания или возрастания качества. Для определенности условимся располагать объекты в порядке ухудшения качества.
   Расположим сначала объекты в порядке ухудшения качества по признаку А. Припишем объекту, стоящему на i-м месте, число – ранг х_i, равный порядковому номеру объекта: x_i = i. Затем расположим объекты в порядке убывания качества по признаку B и припишем каждому из них ранг (порядковый номер) y_i, причем (для удобства сравнения рангов) индекс i при y по-прежнему равен порядковому номеру объекта по признаку А. В итоге получим две последовательности рангов:
по признаку А х₁, х₂, …, х_n,
по признаку В y₁, y₂, …, y_n.
   Для оценки степени связи признаков А и В служат, в частности, коэффициенты ранговой корреляции Спирмена и Кендалла.
   Выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена находят по формуле

где d_i = x_i − y_i, n – объем выборки.
Абсолютная величина коэффициента ранговой корреляции Спирмена не превышает единицы: |ρ _в| ≤ 1.
Для обоснованного суждения о наличии связи между качественными признаками следует проверить, значим ли выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена.
540. Знания десяти студентов проверены по двум тестам: А и В. Оценки по сто бальной системе оказались следующими (в первой строке указано количество баллов по тесту А, а второй – по тесту В):

95	90	86	84	75	70	62	60	57	50
92	93	83	80	55	60	45	72	62	70

(*)

Найти выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена между оценками по двум тестам.
Решение. Присвоим ранги x_i оценкам по тесту А. Эти оценки расположены в убывающем порядке, поэтому их ранги x_i равны порядковым номерам:

Ранги x_i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Оценки по тесту A	95	90	86	84	75	70	62	60	57	50

Присвоим ранги y_i оценкам по тесту В, для чего сначала расположим эти оценки в убывающем порядке и прономеруем их:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
93	92	83	80	72	70	62	60	55	45

(**)

   Напомним, что индекс i при y должен быть равен порядковому номеру оценки студента по тесту А.
   Найдем ранг y₁. Индекс i = 1 указывает, что рассматривается оценка студента, который занимает по тесту А в ряду (*) первое место (эта оценка равна 95); из условия видно, что по тесту В студент получил оценку 92, которая в (**) расположена на втором месте. Таким образом, ранг y₁ = 2.
   Найдем ранг y₂. Индекс i = 2 указывает, что рассматривается оценка студента, который занимает по тесту А в ряду (*) второе место; из условия видно, что студент получил по тесту В оценку 93, которая в (**) расположена на первом месте. Таким образом, ранг y₂=1.
   Аналогично найдем остальные ранги: y₃ = 3, y₄ = 4, y₅ = 9, y₆ = 8, y₇ = 10, y₈ = 5, y₉ = 7, y₁₀ = 6.
   Выпишем последовательности рангов x_i и y_i:

x_i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
y_i	2	1	3	4	9	8	10	5	7	6

Найдём разности рангов: d₁ = x₁ − y₁ = 1 − 2 = − 1; d₂ = x₂− y₂ = 2 − 1 = 1. Аналогично получим: d₃ = 0, d₄ = 0, d₅ = − 4, d₆ = − 2, d₇ = − 3, d₈ = 2, d₁₀ = 4.
Вычислим сумму квадратов разностей рангов:

Найдем искомый коэффициент ранговой корреляции Спирмена, учитывая, что n = 10:

Итак, ρ_в = 0б64.
541. Два преподавателя оценили знания 12 учащихся по сто бальной системе и выставили им следующие оценки (в первой строке указано количество баллов, выставленных первым преподавателем, а во второй – вторым):

98	94	88	80	76	70	63	61	60	58	56	51
99	91	93	74	778	65	64	66	52	53	48	62

Найти выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена между оценками двух преподавателей.
542. Тридцать цветных полос расположены в порядке убывания окраски от темной к светлой и каждой полосе присвоен ранг – порядковый номер. В итоге получена последовательность рангов

x_i

При проверке способности различать оттенки цветов, испытуемый расположил полосы в следующем порядке:

y_i

Найти коэффициент ранговой корреляции Спирмена между «правильными» рангами x_i и рангами y_i, которые присвоены полосам испытуемым.
543. Два товароведа расположили девять мотков пряжи в порядке убывания толщины нити. В итоге были получены две последовательности рангов:

x_i	1	2	3	4	5	6	7	8	9
y_i	4	1	5	3	2	6	9	8	7

Найти коэффициент ранговой корреляции Спирмена между рангами x_i и y_i.
544. Специалисты двух заводов проран жировали 11 факторов, влияющих на ход технологического процесса. В итоге были получены две последовательности рангов:

x_i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
y_i	1	2	3	5	4	9	8	11	6	7	10

Определить, согласуются ли мнения специалистов различных заводов, используя коэффициент ранговой корреляции Спирмена.
545. Три арбитра оценили мастерство 10 спортсменов, в итоге были получены три последовательности рангов (в первой строке приведены ранги арбитра А, во второй – ранги арбитра В, в третьей – ранги арбитра С:

x_i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
y_i	3	10	7	2	8	5	6	7	1	4
z_i	6	2	1	3	9	4	5	9	10	8

Определить пару арбитров, оценки которых наиболее согласуются, используя коэффициент ранговой корреляции Спирмена.
546. Два контролера А и В расположили образцы изделии, изготовленных девятью мастерами, а порядке ухудшения качества (в скобках помещены порядковые номера изделий одинакового качества):

(А)	1	2	(3,	4,	5)	(6,	7,	8,	9)
(В)	2	1	4	3	5	(6,	7)	8	9

Найти выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена между рангами изделий, присвоенным им двумя контролерами.
Р е ш е н и е. Учитывая, что ранги изделий одинакового качества равны среднему арифметическому порядковых номеров изделий.(3 + 4 + 5)/3 = 4, (6 + 7 + 8 + 9)/4 = 7,5, (6 + 7)/2 = 6,5, напишем последовательности рангов, присвоенные изделиям контролерами:

x_i	1	2	4	4	4	7,5	7,5	7,5	7,5
y_i	2	1	4	3	5	6,5	6,5	8	9

Найдем выборочный коэффициент ранговой корреляций Спирмена, учитывая, что

Итак, ρ_в = 0,93.
547. Два инспектора А и В проверили двенадцать водителей на быстроту реакции и расположили их в порядке ухудшения реакции (в скобках помещены порядковые номера водителей с одинаковой реакцией):

(А)	1	(2,	3,	4)	5	(6,	7,	8)	9	10	11	12
(В)	3	1	2	6	4	5	7	8	11	10	9	12

Найти выборочный коэффициент ранговой корреляций Спирмена между рангами водителей, присвоенными им двумя инспекторами.