Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий B₁, B₂,… B_n, образующих полную группу. Если событие А уже произошло, то вероятность гипотезы может быть найдена по формуле Байеса

,
.

З а д а ч а 1. Из числа призывников 50% составляют призывники первой области. 30% - второй области и 20% из третьей области. Из 100 выбранных юношей в первой области 10, во второй 15 и в третьей области 20 юношей оказались негодными для службы в армии. Найти вероятность того, что этот призывник окажется из первой области.

З а д а ч а 2. В группе имеется 10 стрелков. Для 5 стрелков вероятность попадания в мишень равна 0,8, у троих – 0,5 и у остальных двух –0,25. Найти вероятность того, что поражённая мишень окажется первой, второй или третьей группы стрелков.

З а д а ч а 3. 25%,35%,40% продукции изготавливают соответственно машины В₁, В₂, В₃. Процент выхода негодной продукции, изготовленной каждой машиной, составляет соответственно 5%,4%,2%. Найти вероятность того, что эту негодную продукцию изготовили машины соответственно В₁, В₂, В₃.

З а д а ч а 4. Изделие проверяется на стандартность одним из двух товароведов. Вероятность того, что изделие попадёт к первому товароведу, равна 0,55, ко второму 0,45. Вероятность того, что выбранное изделие будет признано стандартным первым товароведом, равна 0,9, а вторым 0,98. Выбранное изделие при проверке было признано стандартным. Найти вероятность того, что это изделие проверял первый товаровед.

З а д а ч а 5. Детали, изготовленные цехом завода, попадают для проверки их на стандартность к одному из двух контролеров. Вероятность того, что деталь попадёт к первому контролёру, равна 0,6, а ко второму 0,4. Вероятность того, что годная деталь будет признана стандартной первым контролёром, равна 0,9, а вторым – 0,98. Изделие при проверке было признано стандартным. Найти вероятность того, что эту деталь проверил первый контролёр.

З а д а ч а 6. В сборочном цехе из всех поступаемых деталей 40% изготавливается на первом станке, 30% - на втором и 30% - на третьем. Вероятность брака для первого станка 0,01, для второго- 0,03, для третьего – 0,05. Наудачу отобранная деталь оказалась бракованной. Найти вероятность того, что эта деталь поступила с первого станка.

З а д а ч а 7. Имеется 10 одинаковых урн, в девяти из них имеется два белых и два чёрных шара, а в оставшейся одной урне имеется пять белых и один чёрный шар. Из наудачу выбранных урн вынут белый шар. Найти вероятность того, что этот шар был вынут из урны, содержащей пять белых и один чёрный шар.

З а д а ч а 8. Вероятность попадания в мишень для пяти стрелков равна 0,8. Для семи стрелков равна 0,7, для четырёх равна 0,6, для двух равна 0,5. Наудачу выбранный стрелок произвёл выстрел, но он не попал в мишень. Найти наиболее вероятную группу, из которой он выбран.

З а д а ч а 9. Для участия в студенческих отборочных соревнованиях выделено из первой группы курса 4 студента, из второй – 6 студентов и из третьей группы 5 студентов. Вероятность того, что студент первой, второй, третьей группы попадут в сборную, соответственно, равны 0,9;0,7 и 0,8. Наудачу выбранный студент в итоге соревнований попал в сборную. Найти вероятность что это студент принадлежит второй группе

З а д а ч а 10. При отклонении от нормального режима работы автомата срабатывает сигнализатор С-1 с вероятностью 0,8, а сигнализатор С-2 срабатывает с вероятностью 0,95. Вероятность того, что автомат снабжён сигнализаторами С-1 и С-2 соответственно равны 0,6 и 0,4. Получен сигнал об остановке автомата. Найти вероятность того, что сигнал об остановке был послан первым сигнализатором.

З а д а ч а 11. Известно, что 96% выпускаемой продукции удовлетворяет стандарту. Упрощённая схема контроля признаёт стандартную продукцию с вероятностью 0,98 и нестандартной с вероятностью 0,05. Определить вероятность того, что изделие, прошедшее упрощённый контроль, удовлетворяет стандарту.

З а д а ч а 12. Имеется десять одинаковых урн, из которых в девяти находится по 2 чёрных и по 2 белых шара. В одной – пять белых и один чёрный шар. Из урны, взятой наудачу, извлечён черный шар. Какова вероятность того, что шар извлечён из урны, содержащей 5 белых шаров?

97. Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит в среднем 60% деталей отличного качества, а второй - 84%. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом.
   Р е ш е н и е. Обозначим через А событие-деталь отличного качества. Можно сделать два предположения (гипотезы): В₁ – деталь произведена первым автоматом, причем (поскольку первый автомат производит вдвое больше деталей, чем второй) P (B₁) = 2/3; B₂ – деталь произведена вторым автоматом, причем P (B₂) = 1/3. Условная вероятность того, что деталь будет отличного качества, если она произведена первым автоматом, P_B1 (A) = 0,6. Условная вероятность того, что деталь будет отличного качества, если она произведена вторым автоматом, P_B2 (A) = 0,84. Вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется отличного качества, по формуле полной вероятности равна . Искомая вероятность того, что взятая отличная деталь произведена первым автоматом, по формуле Бейеса равна .

98. В пирамиде 10 винтовок, из которых 4 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,8. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Что вероятнее: стрелок стрелял из винтовки с оптическим прицелом или без него?

100. Две перфораторщицы набили на разных перфораторах по одинаковому комплекту перфокарт. Вероятность того, что первая перфораторщица допустит ошибку, равна 0,05; для второй перфораторщици эта вероятность равна 0,1.При сверке перфокарт была обнаружена ошибка: Найти вероятность того что ошиблась первая перфораторщица (Предполагается, что оба перфоратора были исправны)

102. Изделие проверяется на стандартность одним из двух товароведов. Вероятность того, что изделие попадет к первому товароведу, равна 0,55, а ко второму 0,45. Вероятность того, что стандартное изделие будет признано стандартным первым товароведом, равна 0,9, а вторым – 0,98. Стандартное изделие при проверке было признано стандартным. Найти вероятность того, что это изделие проверил второй товаровед.

104. Событие А может появиться при условии появления одного из несовместных событий (гипотез) B₁, В₂, В₃, образующих полную группу событий. После появления события A были переоценены вероятности гипотез, т. е. были найдены условные вероятности этих гипотез, причем оказалось, что Р_А(В₁)=0,6 и P_A(B₂) = 0,3. Чему равна условная вероятность Р_А (В₃) гипотезы B₃.

105. Имеются три партии деталей по 20 деталей в каждой. Число стандартных деталей в первой, второй и третьей партиях соответственно равно 20, 15, 10. Из наудачу выбранной партии наудачу извлечена деталь, оказавшаяся стандартной. Деталь возвращают в партию и вторично из той же партии наудачу извлекают деталь которая также оказывается стандартной. Найти вероятность того, что детали были извлечены из третьей партии.
   Р е ш е н и е. Обозначим через А событие – в каждом из двух испытаний (с возвращением) была извлечена стандартная деталь.
   Можно сделать три предположения (гипотезы): В₁ – детали извлекались из первой партии; В₂ – детали извлекались из второй партии; B₃ – детали извлекались из третьей партии.
Детали извлекались из наудачу взятой партии, поэтому вероятности гипотез одинаковы: P(B₁) = P(B₂) = P(B₃) = 1/3. Найдем условную вероятность , т. е. вероятность того,что из первой партии будут последовательно извлечены две стандартные детали. Это событие достоверно, так как в первой партии все детали стандартны, поэтому P_B1 (A) = 1. Найдем условную вероятность P_B2 (A) , т. е. вероятность того, что из второй партии будут последовательно извлечены (с возвращением) две стандартные детали: . Найдем условную вероятность P_B3 (A) , т. е. вероятность того, что из третьей партии будут последовательно извлечены (с возвращением) две стандартные детали: . Искомая вероятность того, что обе извлеченные стандартные детали взяты из третьей партии, по формуле Бейеса равна .

106. Батарея из трех орудий произвела залп, причем два снаряда попали в цель. Найти вероятность того, что первое орудие дало попадание, если вероятности попадания в цель первым, вторым и третьим орудиями соответственно равны p₁ = 0,4, p₂ = 0,3, p₃ = 0,5.
   Р е ш е н и е. Обозначим через А событие – два орудия попали в цель. Сделаем два предположения (гипотезы): B₁ – первое орудие попало в цель; В₂ – первое орудие, не попало в цель.
   По условию, Р(В₁) = 0,4; следовательно (событие В₂ противоположно событию B₁),

Найдем условную вероятность P_B1 (A), т. е. вероятность того, что в цель попало два снаряда, причем один из них послан первым орудием и, следовательно, второй-либо вторым орудием (при этом третье орудие дало промах), либо третьим (при этом второе орудие дало промах). Эти два события несовместны, поэтому применима теорема сложения: P_B1 (A) = p₂ q₃ + p₃ q₂ = 0,3·0,5 + 0,5·0,7 = 0,5. Найдем условную вероятность , т. е. вероятность того, что в цель попало два снаряда, причем первое орудие дало промах. Другими словами, найдем вероятность того, что второе и третье орудия попали в цель. Эти два события независимы, поэтому применима теорема умножения:

Искомая вероятность того, что первое орудие дало попадание, по формуле Бейеса равна .

108. Два из трех независимо работающих элементов вычислительного устройства отказали. Найти вероятность того, что отказали первый и второй элементы, если вероятности отказа первого, второго и третьего элементов соответственно равны 0,2; 0,4 и 0,3.
   Р е ш е н и е. Обозначим через А событие-отказали два элемента. Можно сделать следующие предположения (гипотезы): B₁ – отказали первый и второй элементы, а третий элемент исправен, причем (поскольку элементы работают независимо, применима теорема умножения)

B₄ – отказал только один элемент; B₅ – отказали все три элемента; B₆ – ни один из элементов не отказал. Вероятности последних трех гипотез не вычислены, так как при этих гипотезах событие А (отказали, два элемента) невозможно и значит условные вероятности , и равны нулю, следовательно, равны нулю и произведения и [см. ниже соотношение (*)] при любых значениях вероятностей гипотез В₄, В₅ и В₆.
   Поскольку при гипотезах B₁, В₂, В₃ событие А достоверно, то соответствующие условные вероятности равны единице: По формуле полной вероятности, вероятность того, что отказали два элемента,                         (*) По формуле Бейеса, искомая вероятность того, что отказали первый и второй элементы, = 0,3.