V.Повторные испытания
Если производится испытание, при котором вероятность появления события «А» в каждом испытании не зависит от исходных данных других испытаний, то такие события называются независимыми относительно события «А». Вероятность того, что в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события A равна р, событие наступило ровно k раз (безразлично в какой последовательности), равна
,
.Вероятность того, что в n испытаниях событие наступит: а) менее k раз; b) более k раз; c) более k раз; d) не менее k раз; с) не более k раз, - находят соответственно по формулам:
- P n (0) + P n (1) + … + P n (k − 1);
- P n (k + 1) + P n (k + 2) + … + P n (n);
- P n (k) + P n (k + 1) + … +P n (n);
- P n (0) + P n (1) + … + P n (k).
З а д а ч а 1. Вероятность того, что расход электроэнергии в продолжение одних суток не превысит установленной нормы, равна 0,75. Найти вероятность того, что в ближайшие шесть суток расход электроэнергии в течение четырёх суток не превысит нормы.
| A | B | C | D | E |
| 0,7 | 0,6 | 0,5 | 0,4 | 0,3 |
З а д а ч а 2. Если вероятность события в каждом испытании равна 0,3, найти вероятность того, что событие появится не менее двух раз в пяти независимых испытаниях.
О т в е т: 0,472.
З а д а ч а 3. Вероятность выпуска нестандартной детали равна 0,05. Найти вероятность того, что из наудачу выбранных пяти деталей четыре окажутся негодными.
| A | B | C | D | E |
| 0,0005 | 0,00004 | 0,00003 | 0,00002 | 0,00001 |
З а д а ч а 4. На автобазе имеется 12 автомашин. Вероятность готовности к работе каждой машины равна 0,8. Для нормальной работы автобазы на рейсе должно быть не менее 8 машин. Найти вероятность того, что в ближайшие дни автобаза будет работать нормально.
| A | B | C | D | E |
| 0,9017 | 0,8212 | 0,7921 | 0,7231 | 0,6245 |
З а д а ч а 5. Всхожесть семян данного растения составляет 70%. Найти вероятность того, что из десяти семян взойдёт: a) Восемь семян. b) Не менее восьми семян.
| A | B | C | D | E | |
| a | 0,2161 | 0,2487 | 0,2334 | 0,2463 | 0,2623 |
| b | 0,3253 | 0,3941 | 0,3827 | 0,4121 | 0,4221 |
З а д а ч а 6. Вероятность рождения мальчика равна 0,48 и девочки равна 0,52. Найти вероятность того, что из десяти новорождённых окажется шесть мальчиков.
| A | B | C | D | E |
| 0,14 | 0,19 | 0,7 | 0,64 | 0,48 |
З а д а ч а 7. Вероятность выигрыша лотерейного билета равна 1/7. Найти вероятность того, что из шести билетов два билета не выиграют.
| A | B | C | D | E |
| 0,018 | 0,006 | 0,005 | 0,024 | 0,034 |
З а д а ч а 8. Произведено 5 независимых выстрелов по мишени. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,2. Найти вероятность того, что мишень будет поражена не менее трёх раз.
| A | B | C | D | E |
| 0,02 | 0,03 | 0,04 | 0,05 | 0,06 |
З а д а ч а 9. Вероятность того, что деталь будет бракованной в некоторой партии деталей равна 0,1. Найти вероятность того, что из наудачу выбранных трёх деталей бракованными окажутся: а) 0, б) 1; в) 2; г) 3 детали.
О т в е т: 0,729; 0,243; 0,027; 0,001.
З а д а ч а 10. Вероятность поражения мишени 0,9. Найти вероятность того, что при трёх независимых выстрелах в мишень попадут три раза.
О т в е т: 0,729.
З а д а ч а 11. Вероятность того, что деталь будет бракованной в некоторой партии деталей равна 0,1. Найти вероятность того, что из трёх наудачу выбранных деталей окажется одна бракованной.
| A | B | C | D | E |
| 0,243 | 0,268 | 0,351 | 0,326 | 0,384 |
З а д а ч а 12. Вероятность того, что деталь будет бракованной в некоторой партии деталей равна 0,1. Найти вероятность того, что из трёх наудачу выбранных деталей две окажутся бракованными.
О т в е т: 0,027.
З а д а ч а 13. Вероятность того, что деталь будет бракованной в некоторой партии деталей равна 0,1. Найти вероятность того, что из трёх наудачу выбранных деталей все три окажутся бракованными.
О т в е т: 0.0001
З а д а ч а 14. Монету бросают шесть раз. Найти вероятность того, что герб выпадет менее двух раз.
| A | B | C | D | E |
| 3/64 | 1/64 | 5/64 | 7/64 | 11/64 |
З а д а ч а 15. Монету бросают шесть раз. Найти вероятность того, что герб выпадет не менее двух раз.
О т в е т: 57/64.
110.Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что вероятнее: выиграть две партии из четырех или три партии из шести (ничьи во внимание не принимаются)?
Решение. Играют равносильные шахматисты, поэтому вероятность выигрыша р = 1/2; следовательно, вероятность проигрыша q равна 1/2. Так как во всех партиях вероятность выигрыша постоянна и безразлично, в какой последовательности будут выиграны партии, то применима формула Бернулли.
Найдем вероятность того, что две партии из четырех будут выиграны:
.
.111.Два равносильных противника играют в шахматы. Что вероятнее: а) выиграть одну партию из двух или две партии из четырех? б) выиграть не менее двух партий из четырех или не менее трех партий из пяти? Ничьи во внимание не принимаются.
112. Монету бросают пять раз. Найти вероятность того, что герб выпадает: а) менее двух раз; б) не менее двух раз.113. а) Найти вероятность того, что событие А появится не менее трех раз в четырех не зависимых испытаниях, если вероятность появления события А в одном испытании равна 0,4; б) событие В появится в случае, если событие А наступит не менее четырех раз. Найти вероятность наступления события B, если будет произведено пять не зависимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления событии А равна 0,8.
114. Устройство состоит из трех не зависимо работающих основных элементов. Устройство отказывает, если откажет хотя бы один элемент. Вероятность отказа каждого элемента за время t равна 0,1. Найти вероятность безотказной работы устройства за время t, если: а) работают только основные элементы; б) включен один резервный элемент; в) включены два резервных элемента. Предполагается, что резервные элементы работают в том же режиме, что и основные, вероятность отказа каждого резервного элемента также равна 0,1 и устройство отказывает, если работают менее трех элементов.115.В семье пять детей. Найти вероятность того, что среди этих детей: а) два мальчика; б) неболее двух мальчиков; г) не мене двух и не более трех мальчиков. Вероятность рождения мальчика принять равной 0,51.
116. Отрезок АВ разделен точкой С в отношении 2 : 1. На этот отрезок на удачу брошены четыре точки. Найти вероятность того, что две из них окажутся левее точки С и две – правее. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.117.На отрезок АВ длины а на удачу брошено пять точек. Найти вероятность того, что две точки будут находиться от точки А на расстоянии, меньше x, а три на расстоянии, больше x. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.
118.Отрезок разделен на четыре равных части. Найти вероятность того, что на каждую из четырех частей отрезка попадает по две точки. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.