Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из совместных событий В₁, В₂, …,В_n, образующих полную группу, определяется по формуле

.

Задача 1. Из полного набора 28 костей домино наудачу извлечена кость. Найти вероятность того, что вторую извлечённую наудачу кость можно приставить к первой.

Задача 2. В тире имеется 4 винтовки. Вероятности попадания в мишень из этих винтовок соответственно равны 0,5; 0,6; 0,8; и 0,9. Найти вероятность того, что мишень будет поражена из одной наугад выбранной винтовки.

Задача 3. В сборочный цех принесли детали из первого автомата 20%, из второго-30%, из третьего –50%. 21% деталей, изготовленные на первом автомате, являются бракованными, на втором – 30% и на третьем –10%. Найти вероятность того, что наудачу выбранная деталь окажется бракованной.

Задача 4. В ящике имеются детали, причём 12 деталей изготовлены на первом заводе, 20 деталей изготовлены на втором заводе и 18 деталей изготовлены на третьем заводе. Вероятность появления детали высшего качества для первого завода равна 0,9; для второго завода –0,6; для третьего завода 0,9. Найти вероятность того, что наудачу выбранная деталь окажется отличного качества.

Задача 5. 25%,35%,40% продукции изготавливают соответственно машины В1, В2, В3. Процент выхода негодной продукции, изготовленной каждой машиной, составляет соответственно 5%,4%,2%. Найти вероятность того, что наудачу выбранная продукция окажется негодной.

Задача 6. В первом ящике содержится 8 белых и 2 чёрных шара, во втором ящике 6 белых и 4 чёрных шара. Из первого ящика наудачу взят один шар и переложен во второй. Затем из второго ящика наудачу взят один шар. Найти вероятность того, что этот шар окажется белым.

Задача 7. Из двух заводов на склад поступают электрические утюги. 80% этих утюгов поставляет первый завод, 20% -второй завод. Известно, что 90% продукции первого завода и 95% продукции второго завода служат гарантийный срок, установленные заводами. Найти вероятность того, что наудачу выбранный утюг соответствует заводскому сроку службы.

Задача 8. В двух ящиках имеются радиолампы. В первом ящике содержится 8 ламп, из них 2 нестандартные. Во втором ящике 10 ламп, из них 4 нестандартные. Из каждого ящика наудачу вынули по одной лампе. Затем из этих двух ламп произвольно взяли одну лампу. Найти вероятность того, что выбранная лампа окажется нестандартной.

Задача 9. В группе имеется 10 стрелков. Для 5 стрелков вероятность попадания в мишень равна 0,8, у троих – 0,5 и у остальных двух –0,25. Найти вероятность того, что наудачу сделанный выстрел любым из стрелков попадёт в цель.

Задача 10. Из числа призывников 50% составляют призывники первой области. 30% - второй области и 20% из третьей области. Из 100 выбранных юношей в первой области 10, во второй 15 и в третьей области 20 юношей оказались негодными для службы в армии. Найти вероятность того, что наудачу выбранный юноша окажется пригодным к военной службе.

Задача 11. В ящик, содержащий 3 одинаковые детали, брошена одна стандартная деталь, а затем наудачу извлечена одна деталь. Найти вероятность того, что извлечена стандартная деталь, если равновозможны все возможные предпосылки о числе стандартных деталей, первоначально находящиеся в ящике.

Задача 12. В первом ящике содержится 40 деталей, из них 36 стандартных. Во втором ящике 20 деталей, из них 18 стандартных. Из второго ящика наудачу взята деталь и переложена в первый ящик. Найти вероятность того, что наудачу извлечённая деталь из первого ящика будет стандартной.

Задача 13. Имеется два набора деталей, вероятность того, что деталь первого набора стандартна, равна 0,8, а второго 0,9. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь из взятого набора стандартная.

Задача 14. В первой коробке содержится 20 радиоламп, из которых 18 стандартных, во второй коробке 10 ламп, из них 9 стандартных. Из коробки наудачу взята лампа и переложена в первую. Найти вероятность того, что лампа, наудачу извлечённая из первой коробки, будет стандартной.

Задача 15. В группе 18 лыжников, 5 велосипедистов и 2 бегуна. Вероятность выполнения квалификационной нормы таковы: для лыжников 0,8, для велосипедистов 0,7, для бегуна 0,6. Найти вероятность того, что спортсмен, выбранный наугад, выполнит норму.

Задача 16. На полигоне имеется 5 ракет, с вероятностью попадания в цель 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9. Определить вероятность поражения цели при одном пуске любой наугад выбранной ракеты.

Задача 17. Для контроля продукции из трёх партий деталей взята для испытания одна деталь. Какова вероятность обнаружения бракованной продукции, если в одной партии 2/3 деталей бракованные, а в двух других все доброкачественные?

89. В урну, содержащую два шара, опущен белый шар, после чего из нее наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по цвету).
   Решение. Обозначим через А событие-извлечен белый шар. Возможны следующие предположения (гипотезы) о первоначальном составе шаров: B₁ – белых шаров нет, В2 – один белый шар, В₃ – два белых шара.
   Поскольку всего имеется три гипотезы, причем по условию они равновероятны, и сумма вероятностей гипотез равна единице (так как они образуют полную группу событий), то вероятность каждой из гипотез равна 1/3 , т.е. P (B₁) = P (B₂) = P (B₃) = 1/3.
   Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при условии, что первоначально в урне не было белых шаров, .
   Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при условии, что первоначально в урне был один белый шар, .
Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при условии, что первоначально в урне было два белых шара . Искомую вероятность того, что будет извлечен белый шар, находим по формуле полной вероятности: .

90. В урну, содержащую n шаров, опущен белый шар, после чего наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по цвету).
О т в е т.

92. В пирамиде пять винтовок, три из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведет один выстрел из наудачу взятой винтовки.
О т в е т. Р = 0,85.

94. В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых; во второй урне 20 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу взят один шар. Найти вероятность того, что взят белый шар.
О т в е т: Р = 0,5.

96. Вероятности того, что во время работы цифровой электронной машины произойдет сбой в арифметическом устройстве, в оперативной памяти, в остальных устройствах, относятся как 3:2:5. Вероятности обнаружения сбоя в арифметическом устройстве, в оперативной памяти и в остальных устройствах соответственно равны 0,8; 0,9; 0,9. Найти вероятность того, что возникший в машине сбой будет обнаружен.
О т в е т: Р = 0,87.