Событие, которое может произойти или не произойти, называется случайным. Классическое определение вероятности случайного события выражается следующей формулой

,

З а д а ч а 1. Из колоды карт (36 карт в колоде) наугад выбрана одна карта. Найти вероятность того, что эта карта окажется "король".

З а д а ч а 2. Книга состоит из 90 страниц. Найти вероятность того, что наугад открытая страница оканчивается цифрой 3.
   О т в е т: р = 0,1.

З а д а ч а 3. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что:

1. Разность выпавших очков равна единице.
2. Разность выпавших очков не меньше трёх.

З а д а ч а 4. В ящике из 100 деталей 4 нестандартные. Наудачу выбраны 3 детали. Найти вероятность того, что из выбранных деталей одна нестандартная.
   О т в е т: р=0,112.

З а д а ч а 5. На каждой их четырёх карточках напечатана одна из следующих букв: О,К,И,Н. Карточки тщательно перемешены. Найти вероятность того, что на вынутых карточках по одной и расположенных "в одну линию" можно будет прочесть слово "КИНО".

A	B	C	D	E

З а д а ч а 6. В группе 15 студентов. Из них 3 девочки. Наугад выбрано 6 студентов. Найти вероятность того, что из выбранных студентов две девочки.

A	B	C	D	E

З а д а ч а 7. На каждой из 10 одинаковых карточках напечатана одна из следующих цифр: 1.2.3.4.5.6.7.8.9.0. Карточки тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что на трёх вынутых по одной и расположенных "в одну строчку" карточках можно будет прочесть число 125.

A	B	C	D	E

З а д а ч а 8. Куб, все грани которого окрашены, распилен на 27 кубиков одинакового размера, которые затем тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что наудачу извлечённый кубик будет иметь две окрашенные грани.

З а д а ч а 9. Из 10 билетов 2 являются выигрышными. Наугад выбрано 5 билетов. Найти вероятность того, что выиграет:

1. Один билет.
2. Два билета
3. По крайней мере, один билет.

З а д а ч а 10. В сосуде имеется n пронумерованных шаров. Наудачу один за другим выбираются все шары. Найти вероятность того, что шары выйдут по порядку: 1,2,3, …

З а д а ч а 11. Куб, все грани которого окрашены, распилен на 1000 кубиков одинакового размера, которые затем тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что наудачу извлечённый кубик будет иметь одну окрашенную грань.

З а д а ч а 12. Куб, все грани которого окрашены, распилен на 1000 кубиков одинакового размера, которые затем тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что наудачу извлечённый кубик будет иметь три окрашенные грани.

З а д а ч а 13. Из тщательно перемешанного полного набора 28 костей домино наудачу извлечена кость. Найти вероятность того, что вторую наудачу извлечённую кость можно приставить к первой, если первая кость:

1. Оказалась дублем;
2. Не есть дубль.

З а д а ч а 14. На каждой из шести одинаковых карточках напечатана одна из следующих букв: "а, т, м, р, с,о". Карточки тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что из 4 вынутых по одной и расположенных "в одну линию " карточках можно будет прочесть слово "трос".

A	B	C	D	E

З а д а ч а 15. Из полного набора костей домино наугад берутся 5 костей. Найти вероятность того, что среди них будет хотя бы одна с шестёркой.

З а д а ч а 16. Случайно выбранная кость домино оказалась не дублем. Найти вероятность того, что вторую, также взятую наудачу кость домино, можно приставить к первой.

З а д а ч а 17. Десять книг на одной полке расставляются наудачу. Определить вероятность того, что при этом три определённые книги окажутся поставленными рядом.

З а д а ч а 18.В группе из 10 человек 4 человека имеют опыт вождения автомобиля. Наугад отобрано 7 человек. Какова вероятность того, что из них только двое имеют опыт вождения автомобиля?
О т в е т. 0,3.

З а д а ч а 19.В группе из 11 человек 5 человека имеют необходимый имунитет. Наугад отобрано 6 человек. Какова вероятность того, что из них только двое имеют необходимый имунитет?
О т в е т. 0,32468.

З а д а ч а 20. В обойме из 10 патронов 6 патронов являются меченными. Наугад выбираются 7 патронов. Какова вероятность того, что среди них будут 5 патронов являются меченными?
О т в е т. 0,3.

З а д а ч а 21. При перевозке ящика, в котором содержались 21 стандартная и 10 нестандартных деталей, утеряна одна деталь, причём неизвестно какаия. Наудачу извлечённая (после перевозки) из ящика деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, что была утеряна: а) стандартная деталь; б) нестандартная деталь.
   Р е ш е н и е. а) Извлечённая стандартная деталь, очевидно, не могла быть утеряна; могла быть утеряна любая из остальных 30 деталей (21 + 10 - 1 = 30), причём среди нах было 20 стандартных (21 - 1 = 20). Вероятность того, что была потеряна стандартная деталь, Р = 20/30 = 2/3.
   Среди 30 деталей, каждая из которых могла быть потеряна, было 10 нестандартных. Вероятность того, что потеряна нестандартная деталь, Р = 10/30 = 1/3.

З а д а ч а 22. Задумано двузначное число. Найти вероятность того, что задуманным число окажется: а) случайно названное двузначное число; б) случайно названное двузначное число, цифры которого различны.
О т в е т. Р = 1/90; б) Р = 1/81.

З а д а ч а 23. Указать ошибку «решения» задачи: брошены две игральные кости; найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна 3 (событие А).
   «Р е ш е н и е.» Возможны два исхода испытания: сумма выпавших очков равна 3, сумма выпавших очков неравна 3. Событию А благоприятствует один исход: общее число исходов равно двум. Следовательно, искомая вероятность Р(А) = 1/2. Ошибка этого «решения» состоит в том, что рассматриваемые иходы не являются равновозможными.
   Правильное решение. Общее число равновозможных исходов равно 6·6 = 36 (каждое число очков, выпавших на одной кости, может сочетаться со всеми числами очков, выпавших на другой кости). Среди этих исходов благоприятствуют событию А только два исхода (в скобках указаны числа выпарвших очков): (1; 2) и (2; 1). Следовательно, Искомая вероятность Р(А) = 2/36 = 1/18.

З а д а ч а 24. Брошены две игральные кости. Найти вероятности следующих событий: а) сумма выпавших очков равна семи; б) сумма выпавших очков равна восьми, а разность – четырём; в) сумма выпавших очков равна восьми, если известно, что их разность равна четырём; г) сумма выпавших очков равна пяти, а произведение – четырём.
О т в е т. а) Р = 1/6; б) Р = 1/18; в) Р = 1/2; г) Р = 1/18.

З а д а ч а 25.Монета брошена два раза. Найти вероятность того, что хотя бы один раз появится «герб».
О т в е т. Р = 3/4.

З а д а ч а 26. В коробке шесть одинаковых, занумерованных кубиков. Наудачу по одному извлекают все кубики. Найти вероятность того, что номера извлечённых кубиков появятся в возрастающем порядке.
О т в е т. Р = 1/720.

З а д а ч а 27. Найти вероятность того, что при бросании трёх игральных костей шестёрка выпадет на одной (безразлично какой) кости, если на гранях двух других костей выпадут числа очков, не совпадающие между собой (и не равные шести).
Р е ш е н и е. Общее число элементарных исходов испытания равно числу сочетаний из шести элементов по три, т. е. . Число исходов, благоприятствующих появлению шестёрки на одной грани и различного числа очков (не равного шести) на гранях двух других костей, равно числу сочетаний из пяти элеменов по два, т. е. . Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих интересующему нас событию, к общему числу возможных элементарных исходов: .

З а д а ч а 28. В пачке 20 перфокарт, помеченных номерами 101, 102, … 120 и произвольно расположенных. Перфораторщица наудачу извлекает две карты. Найти вероятность того, что извлечены перфокарты с номерами 101 и 120.
О т в е т..

З а д а ч а 29. В ящике 10 одинаковых деталей, помеченных номерами1, 2, … 10. Наудачу извлечены шесть деталей. Найти вероятность того, что среди извлечённых деталей окажутся: а) деталь №1; детали №1 и №2.
   Р е ш е н и е. а) Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь шесть деталей из десяти, т. е. . Найдём число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию: среди отобранных шести деталей есть деталь №1 и, следовательно, остальные пять деталей имеют другие номера. Число таких исходов равно числу способов, которыми можно отобрать пять деталей из оставшихся девяти, т. е. . Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих рассматриваемому событию, к к общему числу возможных элементарных исходов: .
   б) Число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию (среди отобранных деталей есть детали №1 и №2, следовательно, другие детали имеют другие номера), равно числу способов, которыми можно извлечь четыре детали из оставшихся восьми, т. е. . Искомая вероятность .

З а д а ч а 30. В ящике имеется 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Сборшик наудачу извлекает три детали. Найти вероятность того, что извлечённые детали окажутся окрашенными.
   О т в е т. .

З а д а ч а 31. В конверте среди 100 фотокарточек находится одна разыскиваемая. Из конверта наудачу извлечены 10 карточек. Найти вероятность того, что среди них окажется нужная.
   О т в е т. .

З а д а ч а 32. В ящике 100 деталей, из них 10 бракованных. Наудачу извлечены четыре детали. Найти вероятность того, что среди извлечённых деталей: а) нет бракованных; б) нет годных.
   О т в е т. .

З а д а ч а 33. Устройство состоит из пяти элементов, из которых два изношены. При включении устройства включаются случайным образом два элемента. Найти вероятность того, что включёнными окажутся неизношенные элементы.
   О т в е т. .

З а д а ч а 34. Набирая номер телефона, абонент забыл последние три цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.
   О т в е т. .

З а д а ч а 35. В партии из N деталей имеется n стандартных. Наудачу отобраны m деталей. Найти вероятность того, что среди отобранных деталей ровно k стандартных.
   Р е ш е н и е. Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь m деталей из N деталей, т. е. – числу сочетаний из N элементов по m.
   Подсчитаем число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию (среди m деталей ровно kстандартных); k стандартных деталей можно взять из in стандартных деталей способами; при этом остальные m - k деталей должны быть нестандартными; взять же m - k нестандартных деталей из N - n нестандартных деталей можно способами. Следовательно, число благоприятствующих исходов равно ·.
   Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих рассматриваемому событию, к к общему числу возможных элементарных исходов: Р = ·/.

З а д а ч а 36. В цехе работают шесть мужчин и четыре женщины. По табельным номерам наудачу отобраны семь человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся три женщины.
   О т в е т. .

З а д а ч а 37. На складе имеется 15 кинескопов, причём 10 из них изготовлены Львовским заводом. Найти вероятность того, что среди пяти взятых наудачу кинескопов окажутся три кинескопа львовского завода.
   О т в е т. Р ≈ 0,4.

З а д а ч а 38. В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов пять отличников.
   О т в е т. Р = 14/55.

З а д а ч а 39. В коробке пять одинаковых изделиц, причём три из них окрашены. Наудачу извлечены два изделия. Найти вероятность того, что среди двух извлечённых изделий окажутся: а) одно окрашенное изделие; б) два окрашенных изделия; в) хотя бы одно окрашенное изделие.
   О т в е т. а) Р = 0,6; б) Р = 0,3; в) Р = 0,9.

З а д а ч а 40. В «секретном» замке на общей оси четыре диска, каждый из которых разделён на пять секторов, на которых написаны различные цифры. Замок открывается только в том случае, если диски установлены так, что цифры на них составляют определённое четырёхзначное число. Найти вероятность того, что при произвольной установке дисков замок будет открыт.
   О т в е т. Р = 1/5⁴.